Chứng minh tỉ số đường cao và diện tích hai tam giác đồng dạng

a) Vì ΔA'B'C' ∽ ΔABC theo tỉ số k, suy ra: \[\widehat{B} = \widehat{B'} \quad \text{và} \quad \frac{A'B'}{AB} = \frac{A'C'}{AC} = \frac{B'C'}{BC} = k\] Xét tam giác vuông A'H'B' (vuông tại H') và tam giác vuông AHB (vuông tại H), có: \[\widehat{B} = \widehat{B'}\] Theo dấu hiệu g.g: ΔA'H'B' ∽ ΔAHB Suy ra: \[\frac{A'H'}{AH} = \frac{A'B'}{AB}\] Mà \(\dfrac{A'B'}{AB} = k\), nên: \[\frac{A'H'}{AH} = k \quad (đpcm)\] b) Diện tích tam giác ABC: \[S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AH \cdot BC\] Diện tích tam giác A'B'C': \[S_{A'B'C'} = \frac{1}{2} \cdot A'H' \cdot B'C'\] Lập tỉ số: \[\frac{S_{A'B'C'}}{S_{ABC}} = \frac{\dfrac{1}{2} \cdot A'H' \cdot B'C'}{\dfrac{1}{2} \cdot AH \cdot BC} = \frac{A'H'}{AH} \cdot \frac{B'C'}{BC} = k \cdot k = k^2\] Vậy diện tích tam giác A'B'C' bằng \(k^2\) lần diện tích tam giác ABC. (đpcm)