Rút gọn biểu thức phân thức đại số

a) \(\frac{2}{3x} + \frac{x}{x-1} + \frac{6x^2-4}{2x(1-x)}\) Rút gọn phân thức thứ ba: \(\frac{6x^2-4}{2x(1-x)} = \frac{2(3x^2-2)}{2x(1-x)} = \frac{3x^2-2}{x(1-x)}\) Đổi dấu: \(\frac{3x^2-2}{x(1-x)} = -\frac{3x^2-2}{x(x-1)}\) Mẫu thức chung: \(3x(x-1)\) \(= \frac{2(x-1)}{3x(x-1)} + \frac{3x^2}{3x(x-1)} - \frac{3(3x^2-2)}{3x(x-1)}\) \(= \frac{2x - 2 + 3x^2 - 9x^2 + 6}{3x(x-1)}\) \(= \frac{-6x^2 + 2x + 4}{3x(x-1)}\) \(= \frac{-2(3x^2 - x - 2)}{3x(x-1)}\) Phân tích: \(3x^2 - x - 2 = 3x(x-1) + 2(x-1) = (3x+2)(x-1)\) \(= \frac{-2(3x+2)(x-1)}{3x(x-1)} = \frac{-2(3x+2)}{3x}\) b) \(\frac{x^3+1}{1-x^3} + \frac{x}{x-1} - \frac{x+1}{x^2+x+1}\) Đổi dấu: \(\frac{x^3+1}{1-x^3} = -\frac{x^3+1}{x^3-1}\) Phân tích: \(x^3 - 1 = (x-1)(x^2+x+1)\) Mẫu thức chung: \((x-1)(x^2+x+1)\) \(= \frac{-(x^3+1) + x(x^2+x+1) - (x+1)(x-1)}{(x-1)(x^2+x+1)}\) Tử: \(-x^3 - 1 + x^3 + x^2 + x - (x^2 - 1) = -x^3 - 1 + x^3 + x^2 + x - x^2 + 1 = x\) \(= \frac{x}{(x-1)(x^2+x+1)} = \frac{x}{x^3-1}\) c) Tính phần trong ngoặc: \(\frac{2}{x+2} - \frac{2}{1-x} = \frac{2(1-x) - 2(x+2)}{(x+2)(1-x)} = \frac{2 - 2x - 2x - 4}{(x+2)(1-x)} = \frac{-4x-2}{(x+2)(1-x)}\) \(= \frac{-2(2x+1)}{(x+2)(1-x)} = \frac{2(2x+1)}{(x+2)(x-1)}\) Phân tích phân thức thứ hai: \(\frac{x^2-4}{4x^2-1} = \frac{(x-2)(x+2)}{(2x-1)(2x+1)}\) Nhân hai kết quả: \(\frac{2(2x+1)}{(x+2)(x-1)} \cdot \frac{(x-2)(x+2)}{(2x-1)(2x+1)}\) \(= \frac{2(2x+1)(x-2)(x+2)}{(x+2)(x-1)(2x-1)(2x+1)}\) \(= \frac{2(x-2)}{(2x-1)(x-1)}\) d) Quy đồng phần trong ngoặc, mẫu chung là \(1 - x^2 = (1-x)(1+x)\): \(\frac{1}{1-x} - \frac{1}{1-x^2} = \frac{1+x}{1-x^2} - \frac{1}{1-x^2} = \frac{x}{1-x^2}\) Thay vào biểu thức: \(1 + \frac{x^3-x}{x^2+1} \cdot \frac{x}{1-x^2}\) Phân tích: \(x^3 - x = x(x^2-1) = -x(1-x^2)\) \(= 1 + \frac{-x(1-x^2)}{x^2+1} \cdot \frac{x}{1-x^2}\) \(= 1 + \frac{-x^2}{x^2+1}\) \(= \frac{x^2+1-x^2}{x^2+1} = \frac{1}{x^2+1}\)