a) Đường thẳng d nhận \(\overrightarrow{u_1}=(1;2;2)\) làm vectơ chỉ phương và đi qua \(C(0;1;0)\).
Đường thẳng d' nhận \(\overrightarrow{u_2}=(2;2;-1)\) làm vectơ chỉ phương và đi qua \(B(-1;-2;3)\).
Vì \(\overrightarrow{u_1}\) và \(\overrightarrow{u_2}\) không cùng phương nên d và d' không song song, không trùng nhau.
Ta có \(\overrightarrow{CB}=(-1;-3;3)\) và:
\[\left[\overrightarrow{u_1}, \overrightarrow{u_2}\right] = \left(\begin{vmatrix}2&2\\2&-1\end{vmatrix};\begin{vmatrix}2&1\\-1&2\end{vmatrix};\begin{vmatrix}1&2\\2&2\end{vmatrix}\right) = (-6;5;-2) \neq \overrightarrow{0}\]
\[\overrightarrow{CB} \cdot \left[\overrightarrow{u_1}, \overrightarrow{u_2}\right] = (-6)(-1) + 5(-3) + (-2)(3) = 6 - 15 - 6 = -15 \neq 0\]
Vậy d và d' chéo nhau.
b) Đường thẳng \(\Delta\) đi qua \(A(1;0;2)\) và song song với d nên nhận \(\overrightarrow{u_1}=(1;2;2)\) làm vectơ chỉ phương. Phương trình tham số của \(\Delta\):
\[\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2t \\ z = 2 + 2t \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R})\]
c) Kiểm tra A có thuộc d không: từ phương trình d, nếu \(x=1\) thì \(\frac{1}{1}=1\), nhưng \(\frac{y-1}{2}=\frac{0-1}{2}=-\frac{1}{2} \neq 1\), nên \(A \notin d\).
Mặt phẳng (P) chứa d nên chứa \(C(0;1;0)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u_1}=(1;2;2)\). Mặt phẳng (P) cũng chứa A nên ta có thêm vectơ:
\[\overrightarrow{AC} = (-1;1;-2)\]
Vectơ pháp tuyến của (P):
\[\overrightarrow{n} = \left[\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{u_1}\right] = \left(\begin{vmatrix}1&-2\\2&2\end{vmatrix};\begin{vmatrix}-2&-1\\2&1\end{vmatrix};\begin{vmatrix}-1&1\\1&2\end{vmatrix}\right) = (6;0;-3)\]
Có thể lấy \(\overrightarrow{n'} = (2;0;-1)\). Phương trình mặt phẳng (P) qua \(A(1;0;2)\):
\[2(x-1) - (z-2) = 0 \Leftrightarrow 2x - z = 0\]
d) Mặt phẳng (Oxz) có phương trình \(y = 0\).
Phương trình tham số của d:
\[\begin{cases} x = t \\ y = 1 + 2t \\ z = 2t \end{cases}\]
Thay vào \(y = 0\):
\[1 + 2t = 0 \Leftrightarrow t = -\frac{1}{2}\]
Tọa độ giao điểm: \(x = -\dfrac{1}{2}\), \(y = 0\), \(z = -1\).
Vậy giao điểm của d với mặt phẳng (Oxz) là \(\left(-\dfrac{1}{2};\, 0;\, -1\right)\).
