a) Lấy đạo hàm của \(C(x) = 23\,000 + 50x - 0{,}5x^2 + 0{,}00175x^3\):
\[C'(x) = 50 - x + 0{,}00525x^2\]
Đây là hàm chi phí biên.
b) Thay \(x = 100\):
\[C'(100) = 0{,}00525 \cdot 100^2 - 100 + 50 = 52{,}5 - 100 + 50 = 2{,}5 \text{ (trăm nghìn đồng)}\]
Vậy \(C'(100) = 2{,}5\) trăm nghìn đồng \(= 250\,000\) đồng.
Ý nghĩa: Khi đang sản xuất 100 đơn vị hàng hóa, chi phí để sản xuất thêm một đơn vị tiếp theo (đơn vị thứ 101) xấp xỉ 250 000 đồng.
c) Chi phí thực tế để sản xuất đơn vị hàng hóa thứ 101 là:
\[C(101) - C(100)\]
Tính \(C(100)\):
\[C(100) = 23\,000 + 50 \cdot 100 - 0{,}5 \cdot 100^2 + 0{,}00175 \cdot 100^3\]
\[= 23\,000 + 5\,000 - 5\,000 + 175 = 23\,175 \quad \text{(không đúng — xem lại)}\]
Tính lại:
\[C(100) = 23\,000 + 5\,000 - 5\,000 + 175 = 23\,175\]
\[C(101) = 23\,000 + 50 \cdot 101 - 0{,}5 \cdot 101^2 + 0{,}00175 \cdot 101^3\]
\[= 23\,000 + 5\,050 - 5\,100{,}5 + 0{,}00175 \cdot 1\,030\,301\]
\[= 23\,000 + 5\,050 - 5\,100{,}5 + 1\,803{,}02675\]
\[= 24\,752{,}52675\]
\[C(100) = 23\,000 + 5\,000 - 5\,000 + 0{,}00175 \cdot 1\,000\,000 = 23\,000 + 5\,000 - 5\,000 + 1\,750 = 24\,750\]
Vậy:
\[C(101) - C(100) = 24\,752{,}52675 - 24\,750 = 2{,}52675 \text{ (trăm nghìn đồng)}\]
Giá trị \(2{,}52675\) trăm nghìn đồng xấp xỉ với chi phí biên \(C'(100) = 2{,}5\) trăm nghìn đồng. Sai số rất nhỏ, điều này minh họa rằng chi phí biên là xấp xỉ tốt cho chi phí sản xuất thêm một đơn vị hàng hóa.
