Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc và tìm điểm cách đều hai mặt phẳng

a) Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến \(\vec{n_P} = (1; 3; -1)\), mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến \(\vec{n_Q} = (1; -1; -2)\). Tính tích vô hướng: \[\vec{n_P} \cdot \vec{n_Q} = 1 \cdot 1 + 3 \cdot (-1) + (-1) \cdot (-2) = 1 - 3 + 2 = 0\] Vì \(\vec{n_P} \cdot \vec{n_Q} = 0\) nên \(\vec{n_P} \perp \vec{n_Q}\), do đó hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau. b) Điểm M thuộc trục Ox nên \(M(x; 0; 0)\). Khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P): \[d(M,(P)) = \frac{|x + 3 \cdot 0 - 0|}{\sqrt{1^2 + 3^2 + (-1)^2}} = \frac{|x|}{\sqrt{11}}\] Khoảng cách từ M đến mặt phẳng (Q): \[d(M,(Q)) = \frac{|x - 0 - 2 \cdot 0 + 1|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2 + (-2)^2}} = \frac{|x + 1|}{\sqrt{6}}\] M cách đều (P) và (Q) nên: \[\frac{|x|}{\sqrt{11}} = \frac{|x+1|}{\sqrt{6}}\] Bình phương hai vế: \[6x^2 = 11(x+1)^2\] \[6x^2 = 11x^2 + 22x + 11\] \[5x^2 + 22x + 11 = 0\] Delta: \(\Delta = 22^2 - 4 \cdot 5 \cdot 11 = 484 - 220 = 264 = 4 \cdot 66\) \[x = \frac{-22 \pm \sqrt{264}}{10} = \frac{-22 \pm 2\sqrt{66}}{10} = \frac{-11 \pm \sqrt{66}}{5}\] Vậy có hai điểm M thỏa mãn: \[M_1\!\left(\frac{-11 + \sqrt{66}}{5};\ 0;\ 0\right) \quad \text{và} \quad M_2\!\left(\frac{-11 - \sqrt{66}}{5};\ 0;\ 0\right)\]