a) Tính \(\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{u}\):
\[\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{u} = a(bc' - b'c) + b(ca' - c'a) + c(ab' - a'b)\]
\[= abc' - ab'c + bca' - abc' + ab'c - a'bc\]
\[= (abc' - abc') + (ab'c - ab'c) + (a'bc - a'bc) = 0\]
Vậy \(\overrightarrow{n} \perp \overrightarrow{u}\).
Tính \(\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{v}\):
\[\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{v} = a'(bc' - b'c) + b'(ca' - c'a) + c'(ab' - a'b)\]
\[= a'bc' - a'b'c + b'ca' - ab'c' + ab'c' - a'bc'\]
\[= (a'bc' - a'bc') + (a'b'c - a'b'c) + (ab'c' - ab'c') = 0\]
Vậy \(\overrightarrow{n} \perp \overrightarrow{v}\).
Suy ra \(\overrightarrow{n}\) vuông góc với cả hai vectơ \(\overrightarrow{u}\) và \(\overrightarrow{v}\).
b) \(\overrightarrow{n} = \overrightarrow{0}\) khi và chỉ khi:
\[\begin{cases} bc' - b'c = 0 \\ ca' - c'a = 0 \\ ab' - a'b = 0 \end{cases} \quad (I)\]
Trường hợp 1: \(a = b = c = 0\) thì \(\overrightarrow{u} = \overrightarrow{0}\), hệ (I) luôn thỏa mãn. Khi đó \(\overrightarrow{u}\) và \(\overrightarrow{v}\) cùng phương.
Trường hợp 2: \(a, b, c\) không đồng thời bằng 0, chẳng hạn \(a \neq 0, b \neq 0, c \neq 0\). Từ hệ (I):
\[\frac{b'}{b} = \frac{c'}{c}, \quad \frac{a'}{a} = \frac{c'}{c}, \quad \frac{a'}{a} = \frac{b'}{b}\]
Gọi tỉ số chung là \(k\), ta có \(a' = ka,\ b' = kb,\ c' = kc\), suy ra \(\overrightarrow{v} = k\overrightarrow{u}\). Khi đó \(\overrightarrow{u}\) và \(\overrightarrow{v}\) cùng phương.
Vậy \(\overrightarrow{n} = \overrightarrow{0}\) khi và chỉ khi \(\overrightarrow{u}\) và \(\overrightarrow{v}\) cùng phương.
