Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên miền xác định

a) Tính đạo hàm: \[y' = \frac{2(3x-2) - 3(2x+1)}{(3x-2)^2} = \frac{6x - 4 - 6x - 3}{(3x-2)^2} = \frac{-7}{(3x-2)^2}\] Vì \((3x-2)^2 > 0\) với mọi \(x \in \left[2; +\infty\right)\), ta có \(y' < 0\) trên toàn nửa khoảng. Hàm số nghịch biến trên \(\left[2; +\infty\right)\). GTLN đạt tại đầu mút trái: \[\max_{[2;+\infty)} y = y(2) = \frac{2 \cdot 2 + 1}{3 \cdot 2 - 2} = \frac{5}{4}\] Khi \(x \to +\infty\), \(y \to \dfrac{2}{3}\) nhưng không đạt giá trị \(\dfrac{2}{3}\). Hàm số không có giá trị nhỏ nhất trên \(\left[2; +\infty\right)\). b) Điều kiện xác định: \(2 - x^2 \geq 0 \Leftrightarrow x^2 \leq 2 \Leftrightarrow x \in \left[-\sqrt{2}; \sqrt{2}\right]\). Tính đạo hàm: \[y' = \frac{-2x}{2\sqrt{2 - x^2}} = \frac{-x}{\sqrt{2 - x^2}}\] Cho \(y' = 0\): \(-x = 0 \Rightarrow x = 0 \in \left(-\sqrt{2}; \sqrt{2}\right)\) (thỏa mãn). Tính giá trị hàm số tại các điểm cần xét: \[y(-\sqrt{2}) = \sqrt{2 - 2} = 0\] \[y(\sqrt{2}) = \sqrt{2 - 2} = 0\] \[y(0) = \sqrt{2 - 0} = \sqrt{2}\] So sánh: \(0 < \sqrt{2}\), suy ra: \[\min_{[-\sqrt{2};\sqrt{2}]} y = y(-\sqrt{2}) = y(\sqrt{2}) = 0\] \[\max_{[-\sqrt{2};\sqrt{2}]} y = y(0) = \sqrt{2}\]