Khái niệm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

GTLN và GTNN của hàm số được định nghĩa như sau. Cho hàm số \( y = f(x) \) xác định trên tập \( D \). Số \( M \) là giá trị lớn nhất của \( f \) trên \( D \) khi thỏa mãn cả hai điều kiện: - \( f(x) \leq M \) với mọi \( x \in D \) - Tồn tại \( x_0 \in D \) sao cho \( f(x_0) = M \) Ký hiệu: \( M = \max_{D} f(x) \) Số \( m \) là giá trị nhỏ nhất của \( f \) trên \( D \) khi thỏa mãn cả hai điều kiện: - \( f(x) \geq m \) với mọi \( x \in D \) - Tồn tại \( x_0 \in D \) sao cho \( f(x_0) = m \) Ký hiệu: \( m = \min_{D} f(x) \) Lưu ý quan trọng: - Không phải hàm số nào cũng có GTLN hoặc GTNN. Ví dụ: \( f(x) = x \) trên \( \mathbb{R} \) không có GTLN lẫn GTNN. - Trên đoạn đóng \( [a, b] \), nếu hàm số liên tục thì luôn tồn tại cả GTLN lẫn GTNN (định lý Weierstrass). - GTLN và cực đại là hai khái niệm khác nhau. Cực đại là giá trị lớn hơn các giá trị lân cận, còn GTLN là giá trị lớn nhất trên toàn bộ tập \( D \).