Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng và viết phương trình mặt phẳng trong không gian Oxyz

a) Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (P): \[d(A,(P)) = \frac{|1\cdot1 + (-2)\cdot(-1) + 2\cdot2 - 1|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2}} = \frac{|1 + 2 + 4 - 1|}{\sqrt{1 + 4 + 4}} = \frac{6}{3} = 2\] b) Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến \(\vec{n_P} = (1; -2; 2)\). Vì (Q) song song (P) nên (Q) nhận \(\vec{n_P} = (1; -2; 2)\) làm vectơ pháp tuyến. Mặt phẳng (Q) đi qua \(A(1; -1; 2)\), nên phương trình của (Q) là: \[1(x - 1) - 2(y + 1) + 2(z - 2) = 0\] \[x - 1 - 2y - 2 + 2z - 4 = 0\] \[x - 2y + 2z - 7 = 0\] c) Tính \(\overrightarrow{AB} = (-1-1;\; 1-(-1);\; 0-2) = (-2; 2; -2)\). Lấy \(\vec{u} = \dfrac{-1}{2}\overrightarrow{AB} = (1; -1; 1)\) (để tính toán gọn hơn). Vectơ pháp tuyến của (R) là: \[\vec{n_R} = [\vec{n_P};\, \vec{u}] = \left(\begin{vmatrix}-2 & 2 \\ -1 & 1\end{vmatrix};\; \begin{vmatrix}2 & 1 \\ 1 & 1\end{vmatrix};\; \begin{vmatrix}1 & -2 \\ 1 & -1\end{vmatrix}\right)\] - Thành phần 1: \((-2)(1) - (2)(-1) = -2 + 2 = 0\) - Thành phần 2: \((2)(1) - (1)(1) = 2 - 1 = 1\) - Thành phần 3: \((1)(-1) - (-2)(1) = -1 + 2 = 1\) Vậy \(\vec{n_R} = (0; 1; 1)\). Mặt phẳng (R) đi qua \(A(1; -1; 2)\) với vectơ pháp tuyến \((0; 1; 1)\): \[0(x-1) + 1(y+1) + 1(z-2) = 0\] \[y + 1 + z - 2 = 0\] \[y + z - 1 = 0\]