a) Hàm vận tốc:
\[v(t) = y' = 3t^2 - 12, \quad t \ge 0\]
Hàm gia tốc:
\[a(t) = v'(t) = y'' = 6t, \quad t \ge 0\]
b) Hạt chuyển động lên trên khi \(v(t) > 0\):
\[3t^2 - 12 > 0 \Leftrightarrow t^2 > 4 \Leftrightarrow t > 2 \quad (\text{do } t \ge 0)\]
Hạt chuyển động xuống dưới khi \(v(t) < 0\):
\[3t^2 - 12 < 0 \Leftrightarrow t^2 < 4 \Leftrightarrow 0 \le t < 2\]
c) Trong \([0;3]\), hạt đổi chiều tại \(t = 2\). Tính tọa độ tại các thời điểm:
\[y(0) = 0 - 0 + 3 = 3\]
\[y(2) = 8 - 24 + 3 = -13\]
\[y(3) = 27 - 36 + 3 = -6\]
Từ \(t = 0\) đến \(t = 2\): hạt đi từ tọa độ 3 đến tọa độ \(-13\), quãng đường là \(|{-13} - 3| = 16\) m.
Từ \(t = 2\) đến \(t = 3\): hạt đi từ tọa độ \(-13\) đến tọa độ \(-6\), quãng đường là \(|{-6} - ({-13})| = 7\) m.
Quãng đường tổng cộng trong \(0 \le t \le 3\) là:
\[16 + 7 = 23 \text{ m}\]
d) Hạt tăng tốc khi \(a(t) > 0\):
\[6t > 0 \Leftrightarrow t > 0\]
Vậy hạt tăng tốc với mọi \(t > 0\).
Hạt giảm tốc khi \(a(t) < 0\):
\[6t < 0 \Leftrightarrow t < 0\]
Điều này không thỏa mãn điều kiện \(t \ge 0\), nên trong khoảng thời gian xét, hạt không giảm tốc.
