Xét vuông góc và vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian

Đề bài:

Tại một nút giao thông có hai con đường. Trên thiết kế, trong không gian Oxyz, hai con đường đó thuộc hai đường thẳng lần lượt có phương trình: \(\Delta_1: \dfrac{x-1}{2} = \dfrac{y}{-1} = \dfrac{z+1}{3}\) và \(\Delta_2: \dfrac{x-3}{-1} = \dfrac{y+1}{1} = \dfrac{z}{1}\). a) Hai con đường trên có vuông góc với nhau không? b) Nút giao thông trên có phải là nút giao thông khác mức không?

Phân tích bài toán

Tóm tắt đề bài

Cho hai đường thẳng \(\Delta_1\) và \(\Delta_2\) trong không gian Oxyz. Câu a yêu cầu kiểm tra hai đường có vuông góc không; câu b yêu cầu xác định vị trí tương đối để kết luận về nút giao thông khác mức.

Kiến thức cần dùng

Hai đường thẳng \(\Delta_1 \perp \Delta_2 \Leftrightarrow \overrightarrow{u_1} \cdot \overrightarrow{u_2} = 0 \Leftrightarrow a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 = 0\). Hai đường thẳng chéo nhau khi và chỉ khi \(\overrightarrow{A_1 A_2} \cdot [\overrightarrow{u_1}, \overrightarrow{u_2}] \neq 0\). Nút giao thông khác mức tương ứng với hai đường thẳng chéo nhau trong không gian (không cùng nằm trên một mặt phẳng, không có điểm chung).

Phương pháp giải

Chỉ có một hướng giải. Đọc vectơ chỉ phương và tọa độ điểm đi qua từ phương trình tham số. Câu a: tính tích vô hướng hai vectơ chỉ phương, nếu bằng 0 thì vuông góc. Câu b: tính tích có hướng \([\overrightarrow{u_1}, \overrightarrow{u_2}]\) rồi tính tích vô hướng với \(\overrightarrow{AB}\); nếu khác 0 thì hai đường chéo nhau, tức là nút giao thông khác mức.

Ứng dụng thực tế

Khi em nhìn bản đồ một cầu vượt và một con đường bên dưới, làm sao biết chúng có thực sự giao nhau cùng mức hay chỉ vắt ngang qua nhau mà không chạm?

Gợi ý (0/3)

Lời giải chi tiết

Các bài tập cùng bài học— Bài 15. Phương trình đường thẳng trong không gian

Góp ý về bài tập

Bạn thấy nội dung có gì chưa ổn? Góp ý của bạn giúp chúng tôi cải thiện.

...