Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số bậc ba

Problem:

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau: a) \(y = -x^3 + 3x + 1\) b) \(y = x^3 + 3x^2 - x - 1\)

Problem Analysis

Problem Summary

Cho hai hàm số bậc ba, cần khảo sát sự biến thiên (tìm cực trị, khoảng đơn điệu, giới hạn tại vô cực, lập bảng biến thiên) và vẽ đồ thị của từng hàm số.

Required Knowledge

Đạo hàm đa thức; xét dấu đạo hàm để xác định khoảng đồng biến, nghịch biến; điều kiện cực đại, cực tiểu (y' đổi dấu); giới hạn tại vô cực của hàm đa thức bậc ba (dựa vào hệ số của x³); cách lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số bậc ba.

Solution Method

Có một cách giải theo sơ đồ chuẩn: xác định tập xác định → tính y' → giải y' = 0 → xét dấu y' → xác định khoảng đơn điệu và cực trị → tính giới hạn tại vô cực → lập bảng biến thiên → vẽ đồ thị dựa vào bảng biến thiên kết hợp một số điểm đặc biệt (giao trục tung, điểm cực trị, tâm đối xứng).

Real-world Application

Một quả bóng được ném lên theo phương thẳng đứng, độ cao của bóng theo thời gian mô tả bởi một hàm bậc ba — em có thể dùng khảo sát hàm số để tìm thời điểm bóng lên cao nhất và thời điểm bóng rơi xuống đất không?

Hints (0/3)

Detailed solution

a) \(y = -x^3 + 3x + 1\)

1. Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\).

2. Sự biến thiên:

\(y' = -3x^2 + 3\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow -3x^2 + 3 = 0 \Leftrightarrow x^2 = 1 \Leftrightarrow x = \pm 1\)

Xét dấu y':

Trên \((-\infty; -1)\): \(y' < 0\) — hàm số nghịch biến.
Trên \((-1; 1)\): \(y' > 0\) — hàm số đồng biến.
Trên \((1; +\infty)\): \(y' < 0\) — hàm số nghịch biến.

Tại \(x = -1\): y' đổi dấu từ âm sang dương → hàm đạt cực tiểu: \(y_{CT} = -(-1)^3 + 3(-1) + 1 = 1 - 3 + 1 = -1\).

Tại \(x = 1\): y' đổi dấu từ dương sang âm → hàm đạt cực đại: \(y_{CĐ} = -(1)^3 + 3(1) + 1 = -1 + 3 + 1 = 3\).

Giới hạn tại vô cực:

\(\lim_{x \to -\infty} y = \lim_{x \to -\infty} x^3\!\left(-1 + \dfrac{3}{x^2} + \dfrac{1}{x^3}\right) = +\infty\)

\(\lim_{x \to +\infty} y = \lim_{x \to +\infty} x^3\!\left(-1 + \dfrac{3}{x^2} + \dfrac{1}{x^3}\right) = -\infty\)

Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

Giao điểm với trục tung: \((0;\, 1)\).

Điểm cực đại: \((1;\, 3)\); điểm cực tiểu: \((-1;\, -1)\).

Tâm đối xứng của đồ thị: \((0;\, 1)\).

b) \(y = x^3 + 3x^2 - x - 1\)

1. Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\).

2. Sự biến thiên:

\(y' = 3x^2 + 6x - 1\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{-6 \pm \sqrt{36 + 12}}{6} = \dfrac{-6 \pm 4\sqrt{3}}{6} = \dfrac{-3 \pm 2\sqrt{3}}{3}\)

Đặt \(x_1 = \dfrac{-3 - 2\sqrt{3}}{3}\), \(x_2 = \dfrac{-3 + 2\sqrt{3}}{3}\) (với \(x_1 < x_2\)).

Xét dấu y' (hệ số \(a = 3 > 0\)):

Trên \((-\infty;\, x_1)\): \(y' > 0\) — hàm số đồng biến.
Trên \((x_1;\, x_2)\): \(y' < 0\) — hàm số nghịch biến.
Trên \((x_2;\, +\infty)\): \(y' > 0\) — hàm số đồng biến.

Tại \(x_1 = \dfrac{-3 - 2\sqrt{3}}{3}\): y' đổi dấu từ dương sang âm → hàm đạt cực đại:

\(y_{CĐ} = \dfrac{18 + 16\sqrt{3}}{9}\)

Tại \(x_2 = \dfrac{-3 + 2\sqrt{3}}{3}\): y' đổi dấu từ âm sang dương → hàm đạt cực tiểu:

\(y_{CT} = \dfrac{18 - 16\sqrt{3}}{9}\)

Giới hạn tại vô cực:

\(\lim_{x \to -\infty} y = \lim_{x \to -\infty} x^3\!\left(1 + \dfrac{3}{x} - \dfrac{1}{x^2} - \dfrac{1}{x^3}\right) = -\infty\)

\(\lim_{x \to +\infty} y = \lim_{x \to +\infty} x^3\!\left(1 + \dfrac{3}{x} - \dfrac{1}{x^2} - \dfrac{1}{x^3}\right) = +\infty\)

Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

Giao điểm với trục tung: \((0;\, -1)\).

Hai điểm \((-1;\, 2)\) và \((1;\, 2)\) thuộc đồ thị.

Tâm đối xứng của đồ thị: \((-1;\, 2)\).

Exercises in this lesson— Bài 4. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

Feedback

Noticed something off? Your feedback helps us improve.

...

Related exercises

View all exercises →