a) Vì diện tích mảnh vườn bằng \(144\,m^2\) và một cạnh là \(x\) (m), cạnh còn lại là \(\frac{144}{x}\) (m).
Chu vi mảnh vườn:
\[P(x) = 2\left(x + \frac{144}{x}\right) = 2x + \frac{288}{x} \quad (m).\]
b) Điều kiện thực tế: \(x > 0\).
Tiệm cận ngang:
\[\lim_{x \to +\infty} P(x) = \lim_{x \to +\infty}\left(2x + \frac{288}{x}\right) = +\infty.\]
Giới hạn không hữu hạn nên đồ thị hàm số \(P(x)\) không có tiệm cận ngang.
Tiệm cận đứng:
\[\lim_{x \to 0^+} P(x) = \lim_{x \to 0^+}\left(2x + \frac{288}{x}\right) = +\infty.\]
Vậy đồ thị hàm số \(P(x)\) có tiệm cận đứng là \(x = 0\).
Ý nghĩa: Khi cạnh \(x\) càng nhỏ (mảnh vườn càng hẹp) thì chu vi mảnh vườn càng lớn, tức là cần càng nhiều vật liệu rào hơn.
Tiệm cận xiên:
\[\lim_{x \to +\infty}\left[P(x) - 2x\right] = \lim_{x \to +\infty}\left(2x + \frac{288}{x} - 2x\right) = \lim_{x \to +\infty}\frac{288}{x} = 0.\]
Vậy đồ thị hàm số \(P(x)\) có tiệm cận xiên là \(y = 2x\).
Ý nghĩa: Khi cạnh \(x\) rất lớn (mảnh vườn rất dài về một phía), chu vi \(P(x)\) tiến gần đến giá trị \(2x\), tức là phần \(\frac{288}{x}\) trở nên không đáng kể so với \(2x\).
