Tính dân số và tốc độ tăng dân số theo hàm mũ

a) Năm 2030 cách năm 2023 là 7 năm, tức \(t = 7\): \[N(7) = 100e^{0{,}012 \times 7} = 100e^{0{,}084} \approx 108{,}763 \text{ (triệu người)}.\] Năm 2035 cách năm 2023 là 12 năm, tức \(t = 12\): \[N(12) = 100e^{0{,}012 \times 12} = 100e^{0{,}144} \approx 115{,}488 \text{ (triệu người)}.\] b) Tính đạo hàm của \(N(t)\) trên \([0; 50]\): \[N'(t) = 0{,}012 \times 100e^{0{,}012t} = 1{,}2e^{0{,}012t}.\] Vì \(e^{0{,}012t} > 0\) với mọi \(t \in [0; 50]\), nên \(N'(t) > 0\) trên toàn đoạn \([0; 50]\). Vậy hàm số \(N(t)\) đồng biến trên \([0; 50]\), nghĩa là dân số tăng dần theo thời gian. c) Cần tìm \(t\) sao cho \(N'(t) = 1{,}6\): \[1{,}2e^{0{,}012t} = 1{,}6 \Leftrightarrow e^{0{,}012t} = \frac{4}{3}.\] Lấy logarit tự nhiên hai vế: \[0{,}012t = \ln\frac{4}{3} \Leftrightarrow t = \frac{\ln\dfrac{4}{3}}{0{,}012} = \frac{250\ln\dfrac{4}{3}}{3} \approx 23{,}97.\] Vậy vào khoảng năm \(2023 + 24 = 2047\), tốc độ tăng dân số của quốc gia đó đạt 1,6 triệu người/năm.