Chứng minh ABCD là hình bình hành qua điều kiện tổng vectơ
Problem:
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD. Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình bình hành nếu và chỉ nếu \(\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SC} = \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SD}\).
Chiều thuận: Giả sử tứ giác ABCD là hình bình hành, chứng minh \(\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SC} = \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SD}\).
Gọi O là tâm hình bình hành ABCD. Khi đó O là trung điểm của cả AC lẫn BD, nên:
\[\overrightarrow{OC} = -\overrightarrow{OA}, \quad \overrightarrow{OD} = -\overrightarrow{OB}.\]
Áp dụng quy tắc ba điểm:
\[\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SC} = (\overrightarrow{SO} + \overrightarrow{OA}) + (\overrightarrow{SO} + \overrightarrow{OC}) = 2\overrightarrow{SO} + (\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC}) = 2\overrightarrow{SO} + (\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OA}) = 2\overrightarrow{SO}.\]
\[\overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SD} = (\overrightarrow{SO} + \overrightarrow{OB}) + (\overrightarrow{SO} + \overrightarrow{OD}) = 2\overrightarrow{SO} + (\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD}) = 2\overrightarrow{SO} + (\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OB}) = 2\overrightarrow{SO}.\]
Vậy \(\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SC} = 2\overrightarrow{SO} = \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SD}\). (đpcm)
Chiều đảo: Giả sử \(\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SC} = \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SD}\), chứng minh ABCD là hình bình hành.
Chuyển vế:
\[\overrightarrow{SA} - \overrightarrow{SB} = \overrightarrow{SD} - \overrightarrow{SC}.\]
Theo quy tắc hiệu vectơ cùng gốc:
\[\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{CD}.\]
Hai vectơ \(\overrightarrow{BA}\) và \(\overrightarrow{CD}\) bằng nhau nên cùng hướng và có độ lớn bằng nhau, tức AB // CD và AB = CD. Tứ giác có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành.
Vậy ABCD là hình bình hành nếu và chỉ nếu \(\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SC} = \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SD}\).