Biểu diễn vectơ trong hình lăng trụ tam giác qua ba vectơ cho trước
Problem:
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có \(\overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{b}\) và \(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{c}\). Biểu diễn các vectơ sau qua \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{b}\), \(\overrightarrow{c}\):
a) \(\overrightarrow{AB'}\);
b) \(\overrightarrow{B'C}\);
c) \(\overrightarrow{BC'}\).
Trong lăng trụ tam giác ABC.A'B'C', các cạnh bên song song và bằng nhau nên \(\overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{BB'} = \overrightarrow{CC'} = \overrightarrow{a}\).
a) A'ABB' là hình bình hành (AA' // BB', AA' = BB'), nên:
\[\overrightarrow{AB'} = \overrightarrow{AA'} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}.\]
b) Tính \(\overrightarrow{BC}\) trước:
\[\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC} = -\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}.\]
BB'C'C là hình bình hành (BB' // CC', BB' = CC'), nên \(\overrightarrow{B'C'} = \overrightarrow{BC} = -\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}\).
Áp dụng quy tắc ba điểm:
\[\overrightarrow{B'C} = \overrightarrow{B'B} + \overrightarrow{BC} = -\overrightarrow{a} + (-\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}) = -\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}.\]
c) BB'C'C là hình bình hành, nên:
\[\overrightarrow{BC'} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BB'} = (-\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}) + \overrightarrow{a} = \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}.\]