Tìm cực trị của hàm số bậc ba, bậc bốn, phân thức và căn thức

a) Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\). Tính đạo hàm: \(y' = 6x^2 - 18x + 12\). Giải \(y' = 0\): \[6x^2 - 18x + 12 = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = 1 \\ x = 2 \end{array}\right.\] Bảng biến thiên: Từ bảng biến thiên: - Hàm số đạt cực đại tại \(x = 1\), giá trị cực đại \(y_{CĐ} = 0\), tức điểm cực đại là \((1; 0)\). - Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 2\), giá trị cực tiểu \(y_{CT} = -1\), tức điểm cực tiểu là \((2; -1)\). b) Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\). Tính đạo hàm: \(y' = 4x^3 - 8x\). Giải \(y' = 0\): \[4x^3 - 8x = 0 \Leftrightarrow 4x(x^2 - 2) = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = 0 \\ x = \pm\sqrt{2} \end{array}\right.\] Bảng biến thiên: Từ bảng biến thiên: - Hàm số đạt cực đại tại \(x = 0\), giá trị cực đại \(y_{CĐ} = 2\). - Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = \pm\sqrt{2}\), giá trị cực tiểu \(y_{CT} = -2\). c) Tập xác định: \(D = \mathbb{R} \setminus \{1\}\). Tính đạo hàm: \[y' = \frac{(2x - 2)(x - 1) - (x^2 - 2x + 3)}{(x-1)^2} = \frac{x^2 - 2x - 1}{(x-1)^2}\] Giải \(y' = 0\): \(x^2 - 2x - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = 1 - \sqrt{2} \\ x = 1 + \sqrt{2} \end{array}\right.\) (đều thuộc tập xác định). Bảng biến thiên: Từ bảng biến thiên: - Hàm số đạt cực đại tại \(x = 1 - \sqrt{2}\), giá trị cực đại \(y_{CĐ} = -2\sqrt{2}\). - Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 1 + \sqrt{2}\), giá trị cực tiểu \(y_{CT} = 2\sqrt{2}\). d) Điều kiện xác định: \(4x - 2x^2 \geq 0 \Leftrightarrow 2x(2 - x) \geq 0 \Leftrightarrow 0 \leq x \leq 2\). Tập xác định: \(D = [0; 2]\). Tính đạo hàm trên khoảng \((0; 2)\): \[y' = \frac{(4x - 2x^2)'}{2\sqrt{4x - 2x^2}} = \frac{4 - 4x}{2\sqrt{4x - 2x^2}} = \frac{2(1 - x)}{\sqrt{4x - 2x^2}}\] Giải \(y' = 0\): \(1 - x = 0 \Leftrightarrow x = 1\) (thuộc \((0; 2)\)). Bảng biến thiên: Từ bảng biến thiên: hàm số đạt cực đại tại \(x = 1\), giá trị cực đại \(y_{CĐ} = \sqrt{2}\). Hàm số không có cực tiểu.