Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến từ đồ thị hàm số bậc ba
Problem:
Hình 1.5 là đồ thị của hàm số \(y = x^3 - 3x^2 + 2\). Tìm các khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của hàm số.
Problem Analysis
Problem Summary
Cho đồ thị hàm số \(y = x^3 - 3x^2 + 2\), cần xác định các khoảng mà hàm số đồng biến và nghịch biến dựa vào hình dạng đồ thị.
Required Knowledge
Hàm số đồng biến trên khoảng K khi đồ thị đi lên từ trái sang phải trên khoảng đó. Hàm số nghịch biến trên khoảng K khi đồ thị đi xuống từ trái sang phải trên khoảng đó. Các điểm cực trị (đỉnh cực đại, đáy cực tiểu) là ranh giới phân chia các khoảng đơn điệu.
Solution Method
Quan sát đồ thị, xác định các điểm mà tại đó đồ thị đổi chiều (từ lên xuống hoặc ngược lại). Từ đó chia trục số thành các khoảng và nhận xét chiều đi của đồ thị trên từng khoảng.
Real-world Application
Một học sinh ghi lại nhiệt độ trong ngày, nhận thấy nhiệt độ tăng dần từ 5 giờ sáng đến 13 giờ trưa, sau đó giảm dần đến 18 giờ chiều, rồi lại tăng nhẹ. Em có thể xác định các khoảng thời gian nhiệt độ đồng biến và nghịch biến theo cách tương tự bài này không?
Hints (0/3)
Hint 1:
Quan sát đồ thị và xác định những điểm mà tại đó đường cong đổi chiều — từ đi lên chuyển sang đi xuống, hoặc ngược lại. Đó chính là ranh giới giữa các khoảng đồng biến và nghịch biến.
Hint 2:
Nhìn vào đồ thị, tại \(x = 0\) đồ thị đạt cực đại và tại \(x = 2\) đồ thị đạt cực tiểu. Trước \(x = 0\) đồ thị đi lên, từ \(x = 0\) đến \(x = 2\) đồ thị đi xuống, sau \(x = 2\) đồ thị lại đi lên.
Hint 3:
Kết luận: đồ thị đi lên tương ứng với đồng biến, đồ thị đi xuống tương ứng với nghịch biến. Ghép với các khoảng trên trục số: \((-\infty; 0)\), \((0; 2)\), \((2; +\infty)\) để viết kết quả.
Detailed solution
Tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R}\).
Trên các khoảng \((-\infty; 0)\) và \((2; +\infty)\), đồ thị hàm số đi lên từ trái sang phải, nên hàm số đồng biến trên \((-\infty; 0)\) và \((2; +\infty)\).
Trên khoảng \((0; 2)\), đồ thị hàm số đi xuống từ trái sang phải, nên hàm số nghịch biến trên \((0; 2)\).
Exercises in this lesson— Bài 1. Tính đơn điệu và cực trị của hàm số