Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

a) Điều kiện xác định: \(2x - x^2 \ge 0 \Leftrightarrow x(2-x) \ge 0 \Leftrightarrow 0 \le x \le 2\). Tập xác định là \([0; 2]\). Tính đạo hàm với \(x \in (0; 2)\): \[y' = \frac{(2x - x^2)'}{2\sqrt{2x - x^2}} = \frac{2 - 2x}{2\sqrt{2x - x^2}} = \frac{1 - x}{\sqrt{2x - x^2}}\] Xét \(y' = 0\): \[\frac{1-x}{\sqrt{2x-x^2}} = 0 \Leftrightarrow 1 - x = 0 \Leftrightarrow x = 1 \in [0;2] \text{ (thỏa mãn)}\] Bảng biến thiên trên \([0; 2]\): Tính giá trị tại các điểm đặc biệt: - \(y(0) = \sqrt{0} = 0\) - \(y(1) = \sqrt{2 \cdot 1 - 1^2} = \sqrt{1} = 1\) - \(y(2) = \sqrt{2 \cdot 2 - 4} = \sqrt{0} = 0\) Kết luận: \[\max_{[0;2]} y = y(1) = 1\] \[\min_{[0;2]} y = y(0) = y(2) = 0\] b) Với \(x \in (1; +\infty)\), tính đạo hàm: \[y' = -1 + \frac{-1}{(x-1)^2} = -1 - \frac{1}{(x-1)^2}\] Vì \((x-1)^2 > 0\) với mọi \(x \in (1;+\infty)\) nên \(\dfrac{1}{(x-1)^2} > 0\), do đó: \[y' = -1 - \frac{1}{(x-1)^2} < 0, \quad \forall x \in (1;+\infty)\] Hàm số nghịch biến trên toàn khoảng \((1; +\infty)\). Xét giới hạn tại hai đầu khoảng: \[\lim_{x \to 1^+} y = \lim_{x \to 1^+}\left(-x + \frac{1}{x-1}\right) = -1 + (+\infty) = +\infty\] \[\lim_{x \to +\infty} y = \lim_{x \to +\infty}\left(-x + \frac{1}{x-1}\right) = -\infty\] Bảng biến thiên trên \((1; +\infty)\): Do hàm nghịch biến trên khoảng mở và giới hạn tại hai đầu lần lượt là \(+\infty\) và \(-\infty\), hàm số không đạt giá trị lớn nhất lẫn giá trị nhỏ nhất trên \((1; +\infty)\).