Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
Problem:
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:
a) \(y = -x^2 + 4x + 3\)
b) \(y = x^3 - 2x^2 + 1\) trên \(\left[0; +\infty\right)\)
c) \(y = \dfrac{x^2 - 2x + 3}{x - 1}\) trên \(\left(1; +\infty\right)\)
d) \(y = \sqrt{4x - 2x^2}\)
Từ bảng biến thiên: hàm tăng trên \((-\infty; 2)\), giảm trên \((2; +\infty)\), đạt cực đại tại \(x = 2\) với \(f(2) = -4 + 8 + 3 = 7\). Khi \(x \to \pm\infty\), \(y \to -\infty\), nên hàm không có giá trị nhỏ nhất.
Vậy \(\max f(x) = f(2) = 7\), hàm số không có giá trị nhỏ nhất.
b) \(y = x^3 - 2x^2 + 1\) trên \([0; +\infty)\).
Tính đạo hàm: \(y' = 3x^2 - 4x\).
\(y' = 0 \Leftrightarrow x(3x - 4) = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = 0 \\ x = \dfrac{4}{3} \end{array}\right.\) (cả hai đều thuộc \([0; +\infty)\)).
Tính giá trị tại các điểm tới hạn:
\(y(0) = 1\), \(y\!\left(\dfrac{4}{3}\right) = \dfrac{64}{27} - \dfrac{32}{9} + 1 = \dfrac{64 - 96 + 27}{27} = -\dfrac{5}{27}\).
Khi \(x \to +\infty\), \(y \to +\infty\), nên hàm không có giá trị lớn nhất.
Vậy \(\displaystyle\min_{[0;+\infty)} y = y\!\left(\dfrac{4}{3}\right) = -\dfrac{5}{27}\), hàm số không có giá trị lớn nhất.
c) \(y = \dfrac{x^2 - 2x + 3}{x - 1}\) trên \((1; +\infty)\).
Tính đạo hàm:
\[y' = \frac{(2x-2)(x-1) - (x^2-2x+3)}{(x-1)^2} = \frac{2(x-1)^2 - (x^2-2x+3)}{(x-1)^2} = \frac{x^2 - 2x - 1}{(x-1)^2}.\]
\(y' = 0 \Leftrightarrow x^2 - 2x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1 \pm \sqrt{2}\).
Do \(x \in (1; +\infty)\), chỉ nhận \(x = 1 + \sqrt{2}\).
Tính giá trị tại \(x = 1 + \sqrt{2}\):
\[y(1+\sqrt{2}) = \frac{(1+\sqrt{2})^2 - 2(1+\sqrt{2}) + 3}{\sqrt{2}} = \frac{3 + 2\sqrt{2} - 2 - 2\sqrt{2} + 3}{\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}.\]
Khi \(x \to 1^+\), \(y \to +\infty\); khi \(x \to +\infty\), \(y \to +\infty\). Từ bảng biến thiên, hàm đạt cực tiểu tại \(x = 1+\sqrt{2}\) và không có giá trị lớn nhất.
Vậy \(\displaystyle\min_{(1;+\infty)} y = y(1+\sqrt{2}) = 2\sqrt{2}\), hàm số không có giá trị lớn nhất trên \((1;+\infty)\).
d) Tập xác định: \(4x - 2x^2 \geq 0 \Leftrightarrow 2x(2-x) \geq 0 \Leftrightarrow 0 \leq x \leq 2\), nên \(D = [0; 2]\).
Tính đạo hàm (với \(x \in (0;2)\)):
\[y' = \frac{4 - 4x}{2\sqrt{4x - 2x^2}} = \frac{2(1-x)}{\sqrt{4x-2x^2}}.\]
\(y' = 0 \Leftrightarrow x = 1\).
Tính giá trị tại các điểm:
\(y(0) = 0\), \(y(1) = \sqrt{4 - 2} = \sqrt{2}\), \(y(2) = \sqrt{8-8} = 0\).
Vậy \(\displaystyle\max_{[0;2]} y = y(1) = \sqrt{2}\), \(\displaystyle\min_{[0;2]} y = y(0) = y(2) = 0\).