Kiểm tra F(x) có là nguyên hàm của f(x) không

a) Tính đạo hàm của F(x): \[ F'(x) = (x \ln x)' = (x)' \cdot \ln x + x \cdot (\ln x)' = \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1. \] Vì \(F'(x) = \ln x + 1 = f(x)\) với mọi \(x \in (0; +\infty)\), nên F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên khoảng \((0; +\infty)\). b) Tính đạo hàm của F(x): \[ F'(x) = (e^{\sin x})' = \cos x \cdot e^{\sin x}. \] Rõ ràng \(\cos x \cdot e^{\sin x} \ne e^{\cos x}\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\), tức là \(F'(x) \ne f(x)\). Vậy F(x) không là nguyên hàm của f(x) trên \(\mathbb{R}\).