Tìm mối quan hệ giữa các vectơ và phân số trong phương trình đường thẳng

Đề bài:

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta\) đi qua điểm \(A\left(x_0; y_0; z_0\right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u} = \left(a; b; c\right)\) với \(a, b, c \neq 0\). a) Điểm \(M\left(x; y; z\right)\) thuộc \(\Delta\) khi và chỉ khi hai vectơ \(\overrightarrow{AM} = \left(x - x_0;\, y - y_0;\, z - z_0\right)\) và \(\overrightarrow{u} = \left(a; b; c\right)\) có mối quan hệ gì? b) Điểm \(M\left(x; y; z\right)\) thuộc \(\Delta\) khi và chỉ khi các phân số \(\dfrac{x - x_0}{a};\, \dfrac{y - y_0}{b};\, \dfrac{z - z_0}{c}\) có mối quan hệ gì?

Phân tích bài toán

Tóm tắt đề bài

Đề cho đường thẳng \(\Delta\) qua \(A\) với vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}\). Cần xác định điều kiện để điểm \(M\) thuộc \(\Delta\) qua mối quan hệ giữa \(\overrightarrow{AM}\) và \(\overrightarrow{u}\), rồi suy ra quan hệ giữa ba phân số tương ứng.

Kiến thức cần dùng

Định nghĩa vectơ chỉ phương của đường thẳng — \(\overrightarrow{u}\) là vectơ chỉ phương của \(\Delta\) nếu giá của \(\overrightarrow{u}\) song song hoặc trùng với \(\Delta\). Điều kiện hai vectơ cùng phương: \(\overrightarrow{AM}\) cùng phương với \(\overrightarrow{u}\) khi tồn tại \(t \in \mathbb{R}\) sao cho \(\overrightarrow{AM} = t\overrightarrow{u}\). Phương trình tham số của đường thẳng: \(\begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \\ z = z_0 + ct \end{cases}\).

Phương pháp giải

Chỉ có một hướng giải. Với câu a), dùng định nghĩa vectơ chỉ phương: \(M \in \Delta\) khi và chỉ khi \(\overrightarrow{AM}\) cùng phương với \(\overrightarrow{u}\), tức là \(\overrightarrow{AM} = t\overrightarrow{u}\) với một số thực \(t\). Với câu b), từ hệ phương trình tham số, rút \(t\) từ mỗi phương trình rồi so sánh: \(t = \dfrac{x - x_0}{a} = \dfrac{y - y_0}{b} = \dfrac{z - z_0}{c}\), suy ra ba phân số đó bằng nhau.

Ứng dụng thực tế

Khi lập trình đồ họa 3D, tia sáng chiếu từ nguồn sáng theo một hướng nhất định — điều kiện để một điểm nằm trên tia sáng đó chính là bài toán tương tự câu hỏi này. Em có thể xác định được điểm nào bị chiếu sáng không?

Gợi ý (0/3)

Lời giải chi tiết

Các bài tập cùng bài học— Bài 15. Phương trình đường thẳng trong không gian

Góp ý về bài tập

Bạn thấy nội dung có gì chưa ổn? Góp ý của bạn giúp chúng tôi cải thiện.

...