Tìm mối quan hệ giữa các vectơ và phân số trong phương trình đường thẳng

a) Điểm \(M\left(x; y; z\right)\) thuộc \(\Delta\) khi và chỉ khi \(\overrightarrow{AM}\) cùng phương với \(\overrightarrow{u}\). Thật vậy, vì \(\overrightarrow{u}\) là vectơ chỉ phương của \(\Delta\) nên mọi vectơ nằm trên \(\Delta\) đều cùng phương với \(\overrightarrow{u}\). Khi \(M \in \Delta\), vectơ \(\overrightarrow{AM}\) nằm trên \(\Delta\) nên cùng phương với \(\overrightarrow{u}\), tức là tồn tại \(t \in \mathbb{R}\) sao cho: \[\overrightarrow{AM} = t\overrightarrow{u}\] b) Từ kết quả câu a), viết \(\overrightarrow{AM} = t\overrightarrow{u}\) theo tọa độ: \[\begin{cases} x - x_0 = at \\ y - y_0 = bt \\ z - z_0 = ct \end{cases}\] Vì \(a, b, c \neq 0\), rút \(t\) từ mỗi phương trình: \[t = \frac{x - x_0}{a}, \quad t = \frac{y - y_0}{b}, \quad t = \frac{z - z_0}{c}\] Vậy điểm \(M\left(x; y; z\right)\) thuộc \(\Delta\) khi và chỉ khi: \[\frac{x - x_0}{a} = \frac{y - y_0}{b} = \frac{z - z_0}{c}\] Ba phân số đó bằng nhau.