Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số

a) Xét hàm \(y = \dfrac{3 - x}{2x + 1}\). Tìm tiệm cận ngang: Chia tử và mẫu cho \(x\): \[\lim_{x \to +\infty} \frac{3 - x}{2x + 1} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\dfrac{3}{x} - 1}{2 + \dfrac{1}{x}} = \frac{0 - 1}{2 + 0} = -\frac{1}{2}\] \[\lim_{x \to -\infty} \frac{3 - x}{2x + 1} = \lim_{x \to -\infty} \frac{\dfrac{3}{x} - 1}{2 + \dfrac{1}{x}} = -\frac{1}{2}\] Vậy đồ thị có tiệm cận ngang \(y = -\dfrac{1}{2}\). Tìm tiệm cận đứng: Mẫu bằng 0 khi \(2x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = -\dfrac{1}{2}\). Khi \(x \to -\dfrac{1}{2}\), tử số \(3 - x \to \dfrac{7}{2} \neq 0\), nên: \[\lim_{x \to \left(-\frac{1}{2}\right)^-} \frac{3 - x}{2x + 1} = -\infty; \quad \lim_{x \to \left(-\frac{1}{2}\right)^+} \frac{3 - x}{2x + 1} = +\infty\] Vậy đồ thị có tiệm cận đứng \(x = -\dfrac{1}{2}\). b) Xét hàm \(y = \dfrac{2x^2 + x - 1}{x + 2}\). Tìm tiệm cận ngang: \[\lim_{x \to +\infty} \frac{2x^2 + x - 1}{x + 2} = \lim_{x \to +\infty} x \cdot \frac{2 + \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{x^2}}{1 + \dfrac{2}{x}} = +\infty\] \[\lim_{x \to -\infty} \frac{2x^2 + x - 1}{x + 2} = -\infty\] Đồ thị không có tiệm cận ngang. Tìm tiệm cận đứng: Mẫu bằng 0 khi \(x = -2\). Tử tại \(x = -2\): \(2(4) + (-2) - 1 = 5 \neq 0\), nên: \[\lim_{x \to -2^-} \frac{2x^2 + x - 1}{x + 2} = -\infty; \quad \lim_{x \to -2^+} \frac{2x^2 + x - 1}{x + 2} = +\infty\] Vậy đồ thị có tiệm cận đứng \(x = -2\). Tìm tiệm cận xiên: Chia đa thức: \[2x^2 + x - 1 = (x + 2)(2x - 3) + 5\] Nên \(y = 2x - 3 + \dfrac{5}{x + 2}\). Kiểm tra: \[\lim_{x \to +\infty}\left[f(x) - (2x - 3)\right] = \lim_{x \to +\infty} \frac{5}{x + 2} = 0\] \[\lim_{x \to -\infty}\left[f(x) - (2x - 3)\right] = \lim_{x \to -\infty} \frac{5}{x + 2} = 0\] Vậy đồ thị có tiệm cận xiên \(y = 2x - 3\).