Tìm tọa độ vectơ, chứng minh không thẳng hàng và tính chu vi hình bình hành MNPQ
Problem:
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm \(M(-4;3;3)\), \(N(4;-4;2)\) và \(P(3;6;-1)\).
a) Tìm tọa độ của các vectơ \(\overrightarrow{MN}\), \(\overrightarrow{MP}\), từ đó chứng minh rằng ba điểm M, N, P không thẳng hàng.
b) Tìm tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{NM} + \overrightarrow{NP}\), từ đó suy ra tọa độ của điểm Q sao cho tứ giác MNPQ là hình bình hành.
c) Tính chu vi của hình bình hành MNPQ.
Đặt \(Q(x;y;z)\). Khi đó \(\overrightarrow{NQ} = (x-4;\,y+4;\,z-2)\).
Để MNPQ là hình bình hành, cần \(\overrightarrow{NM} + \overrightarrow{NP} = \overrightarrow{NQ}\), tức là:
\(\left\{\begin{array}{l} x - 4 = -9 \\ y + 4 = 17 \\ z - 2 = -2 \end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} x = -5 \\ y = 13 \\ z = 0 \end{array}\right.\)
Vậy \(Q(-5;13;0)\).
c) Tính độ dài hai cạnh kề:
\(NM = |\overrightarrow{NM}| = \sqrt{(-8)^2 + 7^2 + 1^2} = \sqrt{64 + 49 + 1} = \sqrt{114}\)
\(NP = |\overrightarrow{NP}| = \sqrt{(-1)^2 + 10^2 + (-3)^2} = \sqrt{1 + 100 + 9} = \sqrt{110}\)
Chu vi hình bình hành MNPQ:
\(C = 2(NM + NP) = 2(\sqrt{114} + \sqrt{110})\)