Tìm tọa độ vectơ, điểm M và điểm N thẳng hàng trong không gian Oxyz

a) \(\overrightarrow{AB} = (1-4;\ -1-2;\ 2-(-1)) = (-3;-3;3)\). Độ dài đoạn thẳng AB: \[AB = |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(-3)^2+(-3)^2+3^2} = \sqrt{9+9+9} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}.\] b) Gọi M(x; y; z). Khi đó \(\overrightarrow{CM} = (x-0;\ y-(-2);\ z-3) = (x;\ y+2;\ z-3)\). Từ \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CM} = \overrightarrow{0}\) suy ra \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{MC}\), tức là \(\overrightarrow{MC} = -\overrightarrow{CM} = (-x;\ -y-2;\ 3-z)\). Đồng nhất với \(\overrightarrow{AB} = (-3;-3;3)\): \[\left\{\begin{array}{l}-x = -3\\-y-2 = -3\\3-z = 3\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x=3\\y=1\\z=0\end{array}\right.\] Vậy M(3; 1; 0). c) Vì N thuộc mặt phẳng (Oxy) nên N có dạng N(x; y; 0). \(\overrightarrow{AN} = (x-4;\ y-2;\ 0-(-1)) = (x-4;\ y-2;\ 1)\). \(\overrightarrow{BN} = (x-1;\ y+1;\ 0-2) = (x-1;\ y+1;\ -2)\). Để A, B, N thẳng hàng, \(\overrightarrow{AN}\) và \(\overrightarrow{BN}\) phải cùng phương, tức \(\overrightarrow{AN} = k\overrightarrow{BN}\): \[\left\{\begin{array}{l}x-4 = k(x-1)\\y-2 = k(y+1)\\1 = -2k\end{array}\right.\] Từ phương trình thứ ba: \(k = -\dfrac{1}{2}\). Thế vào phương trình thứ nhất: \[x-4 = -\frac{1}{2}(x-1) \Rightarrow 2x-8 = -(x-1) \Rightarrow 3x = 9 \Rightarrow x = 3.\] Thế vào phương trình thứ hai: \[y-2 = -\frac{1}{2}(y+1) \Rightarrow 2y-4 = -(y+1) \Rightarrow 3y = 3 \Rightarrow y = 1.\] Vậy N(3; 1; 0).