Tìm tọa độ vectơ, điểm M và điểm N thẳng hàng trong không gian Oxyz

Đề bài:

Trong không gian Oxyz, cho các điểm \(A(4;2;-1)\), \(B(1;-1;2)\) và \(C(0;-2;3)\). a) Tìm tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{AB}\) và tính độ dài đoạn thẳng AB. b) Tìm tọa độ điểm M sao cho \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CM} = \overrightarrow{0}\). c) Tìm tọa độ điểm N thuộc mặt phẳng (Oxy) sao cho A, B, N thẳng hàng.

Phân tích bài toán

Tóm tắt đề bài

Cho ba điểm A, B, C trong không gian Oxyz. Câu a yêu cầu tìm tọa độ \(\overrightarrow{AB}\) và độ dài AB; câu b tìm điểm M thỏa điều kiện vectơ; câu c tìm điểm N trên mặt phẳng (Oxy) thẳng hàng với A, B.

Kiến thức cần dùng

Tọa độ vectơ: \(\overrightarrow{MN} = (x_N - x_M;\ y_N - y_M;\ z_N - z_M)\). Độ dài vectơ: \(|\overrightarrow{MN}| = \sqrt{(x_N-x_M)^2+(y_N-y_M)^2+(z_N-z_M)^2}\). Hai vectơ bằng nhau khi ba tọa độ tương ứng bằng nhau. Điểm trên mặt phẳng (Oxy) có tọa độ z = 0. Ba điểm thẳng hàng khi hai vectơ tạo bởi chúng cùng phương, tức \(\overrightarrow{AN} = k\overrightarrow{BN}\) với k là số thực.

Phương pháp giải

Câu a tính trực tiếp theo công thức tọa độ vectơ rồi tính độ dài. Câu b biến đổi \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CM} = \overrightarrow{0}\) thành \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{MC}\), sau đó đồng nhất tọa độ để lập hệ phương trình tìm x, y, z. Câu c đặt N(x; y; 0) vì N thuộc (Oxy), lập điều kiện cùng phương của \(\overrightarrow{AN}\) và \(\overrightarrow{BN}\), giải hệ tìm x, y.

Ứng dụng thực tế

Trong thực tế, bài toán tìm điểm thẳng hàng giống như xác định vị trí một trạm trung chuyển nằm đúng trên tuyến đường thẳng nối hai địa điểm A và B trong bản đồ 3D — chẳng hạn hệ thống định vị GPS dùng nguyên lý tương tự để xác định điểm dừng trên một tuyến bay.

Gợi ý (0/3)

Lời giải chi tiết

Các bài tập cùng bài học— Bài tập cuối chương 2

Góp ý về bài tập

Bạn thấy nội dung có gì chưa ổn? Góp ý của bạn giúp chúng tôi cải thiện.

...