a) Tính đạo hàm cấp một
Hàm số \(y = \frac{x}{x + \sqrt{2}}\):
Dùng quy tắc đạo hàm thương:
\[y' = \frac{1 \cdot (x + \sqrt{2}) - x \cdot 1}{(x + \sqrt{2})^2} = \frac{\sqrt{2}}{(x + \sqrt{2})^2} = \frac{\sqrt{2}}{x^2 + 2\sqrt{2}x + 2}\]
Hàm số \(y = \frac{2x - 1}{x + 1}\):
\[y' = \frac{2(x+1) - (2x-1) \cdot 1}{(x+1)^2} = \frac{3}{(x+1)^2} = \frac{3}{x^2 + 2x + 1}\]
Hàm số \(y = \frac{x^2 - 2x - 8}{x - 1}\):
\[y' = \frac{(2x-2)(x-1) - (x^2 - 2x - 8) \cdot 1}{(x-1)^2} = \frac{2x^2 - 4x + 2 - x^2 + 2x + 8}{(x-1)^2} = \frac{x^2 - 2x + 10}{x^2 - 2x + 1}\]
Hàm số \(y = 5x + 1 + \frac{3}{2x - 3}\):
\[y' = 5 + \frac{0 \cdot (2x-3) - 3 \cdot 2}{(2x-3)^2} = 5 - \frac{6}{(2x-3)^2} = \frac{5(2x-3)^2 - 6}{(2x-3)^2} = \frac{20x^2 - 60x + 39}{4x^2 - 12x + 9}\]
b) Tìm tiệm cận
Hàm số \(y = \frac{x}{x + \sqrt{2}}\):
- Tiệm cận đứng: \(x = -\sqrt{2}\) (mẫu bằng 0).
- Tiệm cận ngang: \(\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x}{x+\sqrt{2}} = 1\), nên tiệm cận ngang là \(y = 1\).
Hàm số \(y = \frac{2x - 1}{x + 1}\):
- Tiệm cận đứng: \(x = -1\).
- Tiệm cận ngang: \(\lim_{x \to \pm\infty} \frac{2x-1}{x+1} = 2\), nên tiệm cận ngang là \(y = 2\).
Hàm số \(y = \frac{x^2 - 2x - 8}{x - 1}\):
- Tiệm cận đứng: \(x = 1\).
- Chia đa thức: \(x^2 - 2x - 8 = (x-1)(x-1) - 9\), kiểm tra lại: \((x-1)^2 = x^2-2x+1\), nên \(x^2-2x-8 = (x-1)^2 - 9\). Vậy \(y = x - 1 - \frac{9}{x-1}\). Tiệm cận xiên là \(y = x - 1\).
Hàm số \(y = 5x + 1 + \frac{3}{2x - 3}\):
- Tiệm cận đứng: \(2x - 3 = 0 \Rightarrow x = 1{,}5\).
- Khi \(x \to \pm\infty\), \(\frac{3}{2x-3} \to 0\), nên tiệm cận xiên là \(y = 5x + 1\).
c) Vẽ đồ thị bằng GeoGebra
Với mỗi hàm số, thực hiện hai bước:
Bước 1: Nhập lệnh Asymptote(hàm số) để vẽ tiệm cận (kết quả từ câu b).
Bước 2: Nhập biểu thức hàm số vào ô lệnh để GeoGebra vẽ đồ thị.
Kết quả đồ thị các hàm số:
