Tìm nguyên hàm thỏa mãn điều kiện cho trước

Đề bài:

Tìm một nguyên hàm \(F(x)\) của hàm số \(f\left( x \right) = 2\cos x + \dfrac{1}{\sin^2 x}\) thỏa mãn điều kiện \(F\!\left( \dfrac{\pi}{4} \right) = -1\).

Phân tích bài toán

Tóm tắt đề bài

Cho hàm số \(f(x) = 2\cos x + \dfrac{1}{\sin^2 x}\). Cần tìm nguyên hàm \(F(x)\) sao cho \(F\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = -1\).

Kiến thức cần dùng

Nguyên hàm của tổng: \(\int [f(x) + g(x)]\,dx = \int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx\). Nguyên hàm của hàm lượng giác: \(\int \cos x\,dx = \sin x + C\) và \(\int \dfrac{1}{\sin^2 x}\,dx = -\cot x + C\). Tính chất: \(\int k f(x)\,dx = k\int f(x)\,dx\).

Phương pháp giải

Một cách giải. Tính tích phân bất định của \(f(x)\) bằng cách tách thành hai nguyên hàm riêng, thu được \(F(x) = 2\sin x - \cot x + C\). Sau đó thay \(x = \dfrac{\pi}{4}\) và điều kiện \(F\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = -1\) để tìm giá trị cụ thể của \(C\).

Ứng dụng thực tế

Trong vật lý, khi biết vận tốc của một vật theo thời gian và biết vị trí của nó tại một thời điểm cụ thể, em có thể tìm chính xác hàm vị trí — đó chính là bài toán tìm nguyên hàm có điều kiện ban đầu tương tự bài này.

Gợi ý (0/3)

Lời giải chi tiết

Các bài tập cùng bài học— Bài tập cuối chương 4

Góp ý về bài tập

Bạn thấy nội dung có gì chưa ổn? Góp ý của bạn giúp chúng tôi cải thiện.

...