Tìm nguyên hàm thỏa mãn điều kiện cho trước

Tính nguyên hàm của \(f(x)\): \[\int \left(2\cos x + \frac{1}{\sin^2 x}\right)dx = 2\int \cos x\,dx + \int \frac{dx}{\sin^2 x} = 2\sin x - \cot x + C.\] Vậy \(F(x) = 2\sin x - \cot x + C\). Áp dụng điều kiện \(F\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = -1\): \[2\sin\frac{\pi}{4} - \cot\frac{\pi}{4} + C = -1.\] Vì \(\sin\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\) và \(\cot\dfrac{\pi}{4} = 1\), suy ra: \[2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - 1 + C = -1 \Rightarrow \sqrt{2} - 1 + C = -1 \Rightarrow C = -\sqrt{2}.\] Vậy \(F(x) = 2\sin x - \cot x - \sqrt{2}\).