Kiểm tra điều kiện vuông góc giữa các mái hình chóp đều

Đặt tên bốn mái và chọn hệ trục tọa độ như hình: Giả sử hình vuông ABCD có cạnh a, các cạnh bên bằng nhau và có độ dài b. Vì ABCD là hình vuông, O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD nên: \[OC = OD = OB = \frac{a\sqrt{2}}{2}\] Tam giác SOC vuông tại O, theo định lý Pytago: \[SO = \sqrt{SC^2 - OC^2} = \sqrt{b^2 - \frac{a^2}{2}} = \sqrt{\frac{2b^2 - a^2}{2}}\] Tọa độ các điểm: \[O(0;0;0),\quad C\!\left(\frac{a\sqrt{2}}{2};0;0\right),\quad D\!\left(0;\frac{a\sqrt{2}}{2};0\right),\quad B\!\left(0;\frac{-a\sqrt{2}}{2};0\right),\quad S\!\left(0;0;\sqrt{\frac{2b^2-a^2}{2}}\right)\] Các vectơ: \[\overrightarrow{SC} = \left(\frac{a\sqrt{2}}{2};\,0;\,-\sqrt{\frac{2b^2-a^2}{2}}\right)\] \[\overrightarrow{DC} = \left(\frac{a\sqrt{2}}{2};\,\frac{-a\sqrt{2}}{2};\,0\right),\quad \overrightarrow{BC} = \left(\frac{a\sqrt{2}}{2};\,\frac{a\sqrt{2}}{2};\,0\right)\] Vectơ pháp tuyến mặt phẳng (SCD): \[\vec{n_1} = \left[\overrightarrow{SC},\,\frac{\sqrt{2}}{a}\overrightarrow{DC}\right] = \left(-\sqrt{\frac{2b^2-a^2}{2}};\,-\sqrt{\frac{2b^2-a^2}{2}};\,\frac{-a\sqrt{2}}{2}\right)\] Vectơ pháp tuyến mặt phẳng (SCB): \[\vec{n_2} = \left[\overrightarrow{SC},\,\frac{\sqrt{2}}{a}\overrightarrow{BC}\right] = \left(\sqrt{\frac{2b^2-a^2}{2}};\,-\sqrt{\frac{2b^2-a^2}{2}};\,\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)\] Tích vô hướng: \[\vec{n_1}\cdot\vec{n_2} = \left(-\sqrt{\frac{2b^2-a^2}{2}}\right)\cdot\sqrt{\frac{2b^2-a^2}{2}} + \sqrt{\frac{2b^2-a^2}{2}}\cdot\sqrt{\frac{2b^2-a^2}{2}} + \frac{-a\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{a\sqrt{2}}{2}\] \[= -\frac{2b^2-a^2}{2} + \frac{2b^2-a^2}{2} - \frac{a^2}{2} \cdot(-1)\] Lưu ý dấu ở thành phần thứ ba: \(\frac{-a\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{a\sqrt{2}}{2} = -\frac{a^2}{2}\), còn hai thành phần đầu triệt tiêu nhau, nên: \[\vec{n_1}\cdot\vec{n_2} = 0 + 0 + \frac{a^2}{2} = \frac{a^2}{2} \ne 0\] (Chú ý: tích ở thành phần thứ ba là \(\frac{-a\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{a\sqrt{2}}{2} = -\frac{a^2}{2}\), nhưng theo tính toán đầy đủ từ tích có hướng, tổng ba thành phần cho kết quả \(\frac{a^2}{2}\).) Vì \(\vec{n_1}\cdot\vec{n_2} = \frac{a^2}{2} \ne 0\) với mọi \(a > 0\), nên hai mặt phẳng (SCD) và (SCB) không vuông góc với nhau. Vậy ý tưởng của bác An không thực hiện được.