Chứng minh hai đường thẳng song song và viết phương trình mặt phẳng chứa hai đường thẳng

a) Từ phương trình chính tắc, đường thẳng \(\Delta_1\) có vectơ chỉ phương \(\vec{u_1}(3;1;2)\) và đi qua điểm \(A(1;3;2)\). Đường thẳng \(\Delta_2\) có vectơ chỉ phương \(\vec{u_2}(3;1;2)\). Vì \(\vec{u_1} = \vec{u_2}\) nên \(\vec{u_1}\) và \(\vec{u_2}\) cùng phương. Kiểm tra điểm \(A(1;3;2)\) có thuộc \(\Delta_2\) không: thay vào phương trình \(\Delta_2\) ta có \(\dfrac{1-1}{3} = 0\) nhưng \(\dfrac{3+1}{1} = 4 \neq 0\), nên \(A \notin \Delta_2\). Vậy \(\Delta_1 \parallel \Delta_2\). b) Đường thẳng \(\Delta_2\) đi qua điểm \(B(1;-1;0)\). Ta có: \(\overrightarrow{AB} = (0;-4;-2)\). Vectơ này không cùng phương với \(\vec{u_1}(3;1;2)\) vì \(\dfrac{0}{3} \neq \dfrac{-4}{1}\). Tính tích có hướng: \[\left[\vec{u_1}, \overrightarrow{AB}\right] = \left(\begin{vmatrix}1&2\\-4&-2\end{vmatrix};\begin{vmatrix}2&3\\-2&0\end{vmatrix};\begin{vmatrix}3&1\\0&-4\end{vmatrix}\right)\] \[= \big(1\cdot(-2)-2\cdot(-4);\; 2\cdot0-3\cdot(-2);\; 3\cdot(-4)-1\cdot0\big) = (6;6;-12)\] Vectơ pháp tuyến của (P) là \(\vec{n}(1;1;-2)\) (chia cho 6). Mặt phẳng (P) đi qua \(A(1;3;2)\) với pháp tuyến \(\vec{n}(1;1;-2)\) có phương trình: \[(x-1)+(y-3)-2(z-2)=0\] \[\Leftrightarrow x+y-2z=0\]