Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

a) Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\). Sự biến thiên: \(y' = -3x^2 + 12x - 9\) \(y' = 0 \Leftrightarrow -3x^2 + 12x - 9 = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = 1 \\ x = 3 \end{array}\right.\) Trên \((1; 3)\): \(y' > 0\) nên hàm số đồng biến. Trên \((-\infty; 1)\) và \((3; +\infty)\): \(y' < 0\) nên hàm số nghịch biến. Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 1\): \(y_{CT} = -1 + 6 - 9 + 12 = 8\). Hàm số đạt cực đại tại \(x = 3\): \(y_{CĐ} = -27 + 54 - 27 + 12 = 12\). Giới hạn tại vô cực: \(\lim_{x \to -\infty} y = \lim_{x \to -\infty} x^3\!\left(-1 + \dfrac{6}{x} - \dfrac{9}{x^2} + \dfrac{12}{x^3}\right) = +\infty\) \(\lim_{x \to +\infty} y = \lim_{x \to +\infty} x^3\!\left(-1 + \dfrac{6}{x} - \dfrac{9}{x^2} + \dfrac{12}{x^3}\right) = -\infty\) Bảng biến thiên: Đồ thị: Giao với trục tung: \((0;\ 12)\). Đồ thị qua các điểm \((1;\ 8)\), \((3;\ 12)\), \((4;\ 8)\). Tâm đối xứng: \(I(2;\ 10)\). b) Tập xác định: \(D = \mathbb{R} \setminus \{-1\}\). Sự biến thiên: \(y' = \dfrac{2(x+1) - (2x-1)}{(x+1)^2} = \dfrac{3}{(x+1)^2} > 0\), \(\forall x \neq -1\). Hàm số đồng biến trên \((-\infty;\ -1)\) và \((-1;\ +\infty)\). Không có cực trị. Giới hạn: \(\lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{2x-1}{x+1} = 2\) → tiệm cận ngang \(y = 2\). \(\lim_{x \to -1^-} \dfrac{2x-1}{x+1} = +\infty\); \(\lim_{x \to -1^+} \dfrac{2x-1}{x+1} = -\infty\) → tiệm cận đứng \(x = -1\). Bảng biến thiên: Đồ thị: Giao với trục tung: \(\left(0;\ -1\right)\). Giao với trục hoành: \(y = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{2}\), tức điểm \(\left(\dfrac{1}{2};\ 0\right)\). Tâm đối xứng: \(I(-1;\ 2)\). c) Tập xác định: \(D = \mathbb{R} \setminus \{1\}\). Sự biến thiên: Phân tích: \(y = \dfrac{x^2 - 2x}{x-1} = x - 1 - \dfrac{1}{x-1}\). \(y' = \dfrac{(2x-2)(x-1) - (x^2-2x)}{(x-1)^2} = \dfrac{x^2 - 2x + 2}{(x-1)^2} = \dfrac{(x-1)^2 + 1}{(x-1)^2} > 0\), \(\forall x \neq 1\). Hàm số đồng biến trên \((-\infty;\ 1)\) và \((1;\ +\infty)\). Không có cực trị. Giới hạn: \(\lim_{x \to +\infty} y = +\infty\); \(\lim_{x \to -\infty} y = -\infty\). \(\lim_{x \to 1^-} y = +\infty\); \(\lim_{x \to 1^+} y = -\infty\) → tiệm cận đứng \(x = 1\). \(\lim_{x \to \pm\infty}\left[y - (x-1)\right] = \lim_{x \to \pm\infty}\left(-\dfrac{1}{x-1}\right) = 0\) → tiệm cận xiên \(y = x - 1\). Bảng biến thiên: Đồ thị: Giao với trục tung: \((0;\ 0)\). Giao với trục hoành: \(y = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = 2\), tức các điểm \((0;\ 0)\) và \((2;\ 0)\). Tâm đối xứng: \(I(1;\ 0)\).