Tính sự bất bình đẳng thu nhập qua đường cong Lorenz

Sự bất bình đẳng thu nhập của Hoa Kỳ năm 2005 được tính bằng: \[S = \int_0^{100} \left|\left(0{,}00061x^2 + 0{,}0218x + 1{,}723\right)^2 - x\right|dx\] Khai triển \(\left(0{,}00061x^2 + 0{,}0218x + 1{,}723\right)^2\): \[= (0{,}00061)^2 x^4 + (0{,}0218)^2 x^2 + (1{,}723)^2 + 2 \cdot 0{,}00061 \cdot 0{,}0218 \cdot x^3 + 2 \cdot 0{,}00061 \cdot 1{,}723 \cdot x^2 + 2 \cdot 0{,}0218 \cdot 1{,}723 \cdot x\] \[= 3{,}721 \times 10^{-7}x^4 + 4{,}7524 \times 10^{-4}x^2 + 2{,}968529 + 2{,}6596 \times 10^{-5}x^3 + 2{,}10206 \times 10^{-3}x^2 \cdot 1000 + 0{,}075148x\] Trên \([0, 100]\), đường cong Lorenz nằm trên đường \(y = x\) (vì giá trị của biểu thức bình phương luôn lớn hơn \(x\) trong khoảng này), nên bỏ dấu giá trị tuyệt đối. Sau khi khai triển đầy đủ và thu gọn, tích phân trở thành: \[S = \int_0^{100} \left(3{,}721 \times 10^{-7}x^4 + 2{,}6596 \times 10^{-5}x^3 + 2{,}10206x^2 + 74{,}1228x + 2{,}968529 - x\right)dx\] Tính nguyên hàm từng hạng tử: \[= \left[7{,}442 \times 10^{-8}x^5 + 6{,}649 \times 10^{-6}x^4 + 0{,}70069x^3 + 37{,}0614x^2 + 2{,}968529x\right]_0^{100}\] Thay \(x = 100\): \[= 7{,}442 \times 10^{-8} \cdot 10^{10} + 6{,}649 \times 10^{-6} \cdot 10^8 + 0{,}70069 \cdot 10^6 + 37{,}0614 \cdot 10^4 + 2{,}968529 \cdot 100\] \[= 744{,}2 + 664{,}9 + 700690 + 370614 + 296{,}8529\] Cộng tất cả các giá trị lại: \[S \approx 297945768{,}18\] Vậy sự bất bình đẳng thu nhập của Hoa Kỳ năm 2005 xấp xỉ \(297\,945\,768{,}18\).