Tính thể tích khối nón và tìm góc để thể tích lớn nhất

a) Trong tam giác vuông OAB vuông tại A, ta có: \[ AB = OA \cdot \tan\alpha = a\tan\alpha \] Khi quay tam giác OAB quanh trục Ox (tức quanh cạnh OA), ta được khối nón tròn xoay có: - Bán kính đáy: \(r = AB = a\tan\alpha\) - Chiều cao: \(h = OA = a\) Thể tích khối nón: \[ V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi (a\tan\alpha)^2 \cdot a = \frac{1}{3}\pi a^3 \tan^2\alpha \] b) Từ kết quả phần a: \(V(\alpha) = \dfrac{1}{3}\pi a^3 \tan^2\alpha\) với \(\alpha \in \left(0; \dfrac{\pi}{4}\right]\). Tính đạo hàm theo \(\alpha\): \[ V'(\alpha) = \frac{2}{3}\pi a^3 \tan\alpha \cdot \frac{1}{\cos^2\alpha} \] Với \(0 < \alpha \le \dfrac{\pi}{4}\): ta có \(\tan\alpha > 0\) và \(\dfrac{1}{\cos^2\alpha} > 0\), nên \(V'(\alpha) > 0\) trên \(\left(0; \dfrac{\pi}{4}\right)\). Suy ra \(V\) đồng biến trên \(\left(0; \dfrac{\pi}{4}\right]\), do đó \(V\) đạt giá trị lớn nhất tại \(\alpha = \dfrac{\pi}{4}\): \[ V\!\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{3}\pi a^3 \tan^2\frac{\pi}{4} = \frac{1}{3}\pi a^3 \cdot 1 = \frac{1}{3}\pi a^3 \] Vậy thể tích \(V\) đạt giá trị lớn nhất bằng \(\dfrac{1}{3}\pi a^3\) khi \(\alpha = \dfrac{\pi}{4}\).