Tính thể tích khối nón và tìm góc để thể tích lớn nhất

Đề bài:

Cho tam giác vuông OAB có cạnh \(OA = a\) nằm trên trục Ox và \(\widehat{AOB} = \alpha \left(0 < \alpha \le \dfrac{\pi}{4}\right)\). Gọi \(\beta\) là khối tròn xoay sinh ra khi quay miền tam giác OAB xung quanh trục Ox.

a) Tính thể tích \(V\) của \(\beta\) theo \(a\) và \(\alpha\). b) Tìm \(\alpha\) sao cho thể tích \(V\) lớn nhất.

Phân tích bài toán

Tóm tắt đề bài

Tam giác vuông OAB quay quanh trục Ox tạo ra khối tròn xoay. Phần a yêu cầu tính thể tích theo \(a\) và \(\alpha\); phần b yêu cầu tìm \(\alpha \in \left(0; \dfrac{\pi}{4}\right]\) để thể tích đạt lớn nhất.

Kiến thức cần dùng

Khi tam giác vuông quay quanh một cạnh góc vuông, khối tạo thành là khối nón tròn xoay. Công thức thể tích khối nón: \(V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h\), trong đó \(r\) là bán kính đáy, \(h\) là chiều cao. Tính \(r\) qua hệ thức lượng trong tam giác vuông: \(AB = OA \cdot \tan\alpha\). Để tìm cực trị, dùng đạo hàm của hàm số theo \(\alpha\).

Phương pháp giải

Có một cách giải chính. Xác định bán kính đáy \(r = AB = a\tan\alpha\) và chiều cao \(h = OA = a\), sau đó thay vào công thức thể tích khối nón. Ở phần b, tính đạo hàm \(V'(\alpha)\), xét dấu trên \(\left(0; \dfrac{\pi}{4}\right]\) để kết luận hàm đồng biến hay nghịch biến, từ đó suy ra giá trị lớn nhất.

Ứng dụng thực tế

Một chiếc phễu lọc nước dạng nón có chiều cao cố định bằng 10 cm. Nếu góc ở đỉnh phễu thay đổi được, em cần chọn góc bao nhiêu để phễu chứa được nhiều nước nhất?

Gợi ý (0/3)

Lời giải chi tiết

Các bài tập cùng bài học— Bài 13. Ứng dụng hình học của tích phân

Góp ý về bài tập

Bạn thấy nội dung có gì chưa ổn? Góp ý của bạn giúp chúng tôi cải thiện.

...