a) Đổi về dạng lũy thừa:
\[\int \left( 3\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt[3]{x}} \right) dx = 3\int x^{\frac{1}{2}} dx + \int x^{-\frac{1}{3}} dx\]
\[= 3 \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + \frac{x^{\frac{2}{3}}}{\frac{2}{3}} + C = 2x^{\frac{3}{2}} + \frac{3}{2}x^{\frac{2}{3}} + C = 2x\sqrt{x} + \frac{3}{2}\sqrt[3]{x^2} + C.\]
b) Nhân \(\sqrt{x}\) vào trong:
\[\int \sqrt{x}(7x^2 - 3)\,dx = \int \left(7x^{\frac{5}{2}} - 3x^{\frac{1}{2}}\right) dx\]
\[= 7 \cdot \frac{x^{\frac{7}{2}}}{\frac{7}{2}} - 3 \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C = 2x^{\frac{7}{2}} - 2x^{\frac{3}{2}} + C = 2x^3\sqrt{x} - 2x\sqrt{x} + C.\]
c) Khai triển tử và chia từng hạng tử cho \(x^2\):
\[\frac{(2x+1)^2}{x^2} = \frac{4x^2 + 4x + 1}{x^2} = 4 + \frac{4}{x} + x^{-2}\]
\[\int \frac{(2x+1)^2}{x^2}\,dx = \int 4\,dx + 4\int \frac{1}{x}\,dx + \int x^{-2}\,dx\]
\[= 4x + 4\ln|x| + \frac{x^{-1}}{-1} + C = 4x + 4\ln|x| - \frac{1}{x} + C.\]
d) Tách thành hai nguyên hàm:
\[\int \left(2^x + \frac{3}{x^2}\right) dx = \int 2^x\,dx + 3\int x^{-2}\,dx\]
\[= \frac{2^x}{\ln 2} + 3 \cdot \frac{x^{-1}}{-1} + C = \frac{2^x}{\ln 2} - \frac{3}{x} + C.\]
