Gọi \(S(t)\) là độ cao (m) của viên đạn sau \(t\) giây kể từ lúc bắn.
Vì \(v(t) = S'(t)\), nên \(S(t)\) là nguyên hàm của \(v(t)\):
\[S(t) = \int (160 - 9{,}8t)\,dt = 160t - 4{,}9t^2 + C.\]
Do đạn xuất phát từ mặt đất nên \(S(0) = 0\), suy ra \(C = 0\).
Vậy \(S(t) = -4{,}9t^2 + 160t\) (m).
a) Độ cao sau 5 giây:
\[S(5) = -4{,}9 \cdot 5^2 + 160 \cdot 5 = -4{,}9 \cdot 25 + 800 = -122{,}5 + 800 = 677{,}5 \text{ (m)}.\]
b) Hàm \(S(t) = -4{,}9t^2 + 160t\) là parabol mở xuống, đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh:
\[t = -\frac{160}{2 \cdot (-4{,}9)} = \frac{160}{9{,}8} = \frac{800}{49} \text{ giây}.\]
Độ cao lớn nhất:
\[S\!\left(\frac{800}{49}\right) = -4{,}9 \cdot \left(\frac{800}{49}\right)^2 + 160 \cdot \frac{800}{49}.\]
Tính từng phần:
\[-4{,}9 \cdot \frac{640\,000}{2401} = -\frac{49}{10} \cdot \frac{640\,000}{2401} = -\frac{640\,000}{490} = -\frac{64\,000}{49},\]
\[160 \cdot \frac{800}{49} = \frac{128\,000}{49}.\]
\[S\!\left(\frac{800}{49}\right) = -\frac{64\,000}{49} + \frac{128\,000}{49} = \frac{64\,000}{49} \approx 1306{,}1 \text{ (m)}.\]
Viên đạn đạt độ cao lớn nhất khoảng \(1306{,}1\) m khi \(t = \dfrac{800}{49}\) giây.
