Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = eˣ, y = x, x = 0 và x = 1

Xét dấu của \(e^x - x\) trên \([0;1]\): vì \(e^x \geq 1\) với mọi \(x \geq 0\) và \(x \leq 1\) trên đoạn này, nên \(e^x > x\) với mọi \(x \in [0;1]\). Do đó \(|e^x - x| = e^x - x\). Diện tích hình phẳng cần tính là: \[S = \int_0^1 |e^x - x|\,dx = \int_0^1 (e^x - x)\,dx\] \[= \left(e^x - \frac{x^2}{2}\right)\Bigg|_0^1\] \[= \left(e^1 - \frac{1^2}{2}\right) - \left(e^0 - \frac{0^2}{2}\right)\] \[= \left(e - \frac{1}{2}\right) - (1 - 0)\] \[= e - \frac{1}{2} - 1 = e - \frac{3}{2}\] Vậy diện tích hình phẳng là \(S = e - \dfrac{3}{2}\).