Chứng minh đẳng thức tích vô hướng trong tứ diện ABCD

a) Biến đổi vế phải: \(\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CD} + \overrightarrow{BC}.\overrightarrow{DC}\) \(= \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CD} - \overrightarrow{BC}.\overrightarrow{CD}\) \(= \overrightarrow{CD}.\left(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB}\right)\) Theo quy tắc ba điểm: \(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{AB}\), do đó: \(= \overrightarrow{CD}.\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}\) (đpcm). b) Thay \(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}\) và \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD}\) vào biểu thức: \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD} + \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{DB} + \overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BC}\) \(= \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD} + \left(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}\right).\overrightarrow{DB} + \left(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD}\right).\overrightarrow{BC}\) \(= \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD} + \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{DB} + \overrightarrow{BC}.\overrightarrow{DB} + \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BD}.\overrightarrow{BC}\) Nhóm các hạng tử chứa \(\overrightarrow{AB}\): \(= \overrightarrow{AB}.\left(\overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{BC}\right) + \left(\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{DB} + \overrightarrow{BD}.\overrightarrow{BC}\right)\) Xét nhóm thứ nhất: \(\overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BC} = \vec{0}\). Xét nhóm thứ hai: \(\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{DB} + \overrightarrow{BD}.\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BC}.\overrightarrow{DB} - \overrightarrow{DB}.\overrightarrow{BC} = 0\) (vì tích vô hướng giao hoán). Vậy biểu thức bằng \(\overrightarrow{AB}.\vec{0} + 0 = 0\) (đpcm).