Chứng minh tổng bốn vectơ từ điểm I bằng vectơ không
Problem:
Trong Ví dụ 8, gọi I là điểm thuộc đoạn thẳng AG sao cho \(\overrightarrow{AI} = 3\overrightarrow{IG}\) (H.2.19). Chứng minh rằng \(\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID} = \overrightarrow{0}\).
Theo Ví dụ 8: \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} = 3\overrightarrow{AG}\).
Dùng quy tắc ba điểm, phân tích mỗi vectơ qua I:
\[\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} = (\overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IB}) + (\overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IC}) + (\overrightarrow{AI} + \overrightarrow{ID}) = 3\overrightarrow{AG}\]
Suy ra:
\[3\overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID} = 3\overrightarrow{AG}\]
\[\overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID} = 3\overrightarrow{AG} - 3\overrightarrow{AI} = 3(\overrightarrow{AG} + \overrightarrow{IA})\]
Theo quy tắc ba điểm: \(\overrightarrow{AG} + \overrightarrow{IA} = \overrightarrow{IG}\), nên:
\[\overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID} = 3\overrightarrow{IG}\]
Vì \(\overrightarrow{AI} = 3\overrightarrow{IG}\) nên \(3\overrightarrow{IG} = \overrightarrow{AI}\), do đó:
\[\overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID} = \overrightarrow{AI}\]
Cộng \(\overrightarrow{IA}\) vào hai vế:
\[\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID} = \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{AI} = \overrightarrow{0}\]
Vậy \(\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID} = \overrightarrow{0}\). (đpcm)