Tìm điểm chèo thuyền để đến đích sớm nhất

Gọi CD = x km, với 0 < x < 8. Theo định lý Pythagore, tam giác ADC vuông tại C: \[ AD = \sqrt{AC^2 + CD^2} = \sqrt{9 + x^2} \text{ (km)} \] Quãng đường chạy bộ DB = 8 - x (km). Tổng thời gian đi từ A đến B: \[ T(x) = \frac{\sqrt{9 + x^2}}{6} + \frac{8 - x}{8} \text{ (giờ)} \] Tính đạo hàm: \[ T'(x) = \frac{x}{6\sqrt{9 + x^2}} - \frac{1}{8} \] Giải \(T'(x) = 0\): \[ \frac{x}{6\sqrt{9 + x^2}} = \frac{1}{8} \Rightarrow 8x = 6\sqrt{9 + x^2} \Rightarrow 4x = 3\sqrt{9 + x^2} \] Vì x > 0, bình phương hai vế: \[ 16x^2 = 9(9 + x^2) \Rightarrow 16x^2 - 9x^2 = 81 \Rightarrow 7x^2 = 81 \Rightarrow x = \frac{9}{\sqrt{7}} \] Kiểm tra: \(\dfrac{9}{\sqrt{7}} \approx 3{,}40 \in (0; 8)\), thoả mãn. Bảng biến thiên của T(x) trên (0; 8): - Khi \(0 < x < \dfrac{9}{\sqrt{7}}\): T'(x) < 0, T(x) giảm. - Khi \(\dfrac{9}{\sqrt{7}} < x < 8\): T'(x) > 0, T(x) tăng. T(x) đạt giá trị nhỏ nhất tại \(x = \dfrac{9}{\sqrt{7}}\). Vậy anh An cần chèo thuyền đến điểm D cách C một đoạn \(\dfrac{9}{\sqrt{7}}\) km (tức khoảng 3,40 km) thì đến B sớm nhất.