Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng và mặt cầu qua ba điểm A, B, C

Tính trước hai vectơ: \[\overrightarrow{AB} = (-1;1;3), \quad \overrightarrow{AC} = (-2;-2;4)\] Nhận thấy \(\dfrac{-1}{2}\overrightarrow{AC} = (1;1;-2)\) cũng là vectơ chỉ phương của AC. a) Tính vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC): \[\vec{n} = \left[\overrightarrow{AB},\, \tfrac{-1}{2}\overrightarrow{AC}\right] = \left(\begin{vmatrix}1&3\\1&-2\end{vmatrix};\, \begin{vmatrix}3&-1\\-2&1\end{vmatrix};\, \begin{vmatrix}-1&1\\1&1\end{vmatrix}\right) = (-5;\,1;\,-2)\] Mặt phẳng (ABC) đi qua \(A(1;0;-1)\) với pháp tuyến \(\vec{n}=(-5;1;-2)\): \[-5(x-1)+1\cdot y - 2(z+1)=0\] \[\Leftrightarrow -5x+y-2z+3=0\] b) Đường thẳng AC đi qua \(A(1;0;-1)\) với vectơ chỉ phương \((1;1;-2)\). Phương trình chính tắc: \[\frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z+1}{-2}\] Phương trình tham số: \[\begin{cases}x=1+t\\y=t\\z=-1-2t\end{cases}\quad (t\in\mathbb{R})\] c) Tâm I là trung điểm AC: \[I=\left(\frac{1+(-1)}{2};\frac{0+(-2)}{2};\frac{-1+3}{2}\right)=(0;-1;1)\] Bán kính: \[R=\frac{AC}{2}=\frac{1}{2}\sqrt{(-2)^2+(-2)^2+4^2}=\frac{1}{2}\sqrt{24}=\sqrt{6}\] Phương trình mặt cầu: \[x^2+(y+1)^2+(z-1)^2=6\] d) Mặt cầu tâm \(A(1;0;-1)\) đi qua B, bán kính: \[R=AB=\sqrt{(-1)^2+1^2+3^2}=\sqrt{11}\] Phương trình mặt cầu: \[(x-1)^2+y^2+(z+1)^2=11\]