Chứng minh hàm chi phí trung bình giảm và tính giới hạn

Ta có: \(f(x) = \dfrac{C(x)}{x} = \dfrac{2x + 50}{x}\). Chứng minh \(f(x)\) giảm: Tính đạo hàm: \(f'(x) = \dfrac{2 \cdot x - (2x + 50) \cdot 1}{x^2} = \dfrac{2x - 2x - 50}{x^2} = \dfrac{-50}{x^2}\). Vì \(x^2 > 0\) với mọi \(x \neq 0\) nên \(f'(x) = \dfrac{-50}{x^2} < 0\) với mọi \(x > 0\). Vậy hàm số \(f(x)\) giảm trên \((0; +\infty)\). Tính giới hạn: \[\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{2x + 50}{x} = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{2 + \dfrac{50}{x}}{1} = \dfrac{2 + 0}{1} = 2.\] Vậy \(\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = 2\) (đpcm). Ý nghĩa: Khi sản xuất càng nhiều sản phẩm, chi phí trung bình cho mỗi sản phẩm càng giảm, nhưng không bao giờ xuống dưới 2 triệu đồng mỗi sản phẩm.