Tính số đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm

a) Khoảng biến thiên: \[R = 178 - 170 = 8 \text{ (cm)}\] Cỡ mẫu: \(n = 3 + 10 + 6 + 1 = 20\). Tần số tích lũy theo từng nhóm: - Sau nhóm \([170;172)\): 3 - Sau nhóm \([172;174)\): 13 - Sau nhóm \([174;176)\): 19 - Sau nhóm \([176;178)\): 20 Xác định \(Q_1\): \(\frac{n}{4} = 5\). Vì \(3 < 5 \leq 13\) nên nhóm \([172;174)\) chứa \(Q_1\). \[Q_1 = 172 + \frac{5 - 3}{10} \cdot 2 = 172 + 0{,}4 = 172{,}4 \text{ (cm)}\] Xác định \(Q_3\): \(\frac{3n}{4} = 15\). Vì \(13 < 15 \leq 19\) nên nhóm \([174;176)\) chứa \(Q_3\). \[Q_3 = 174 + \frac{15 - 13}{6} \cdot 2 = 174 + \frac{2}{3} = \frac{524}{3} \approx 174{,}67 \text{ (cm)}\] Khoảng tứ phân vị: \[\Delta_Q = Q_3 - Q_1 = \frac{524}{3} - 172{,}4 = \frac{524}{3} - \frac{862}{5} = \frac{2620 - 2586}{15} = \frac{34}{15} \approx 2{,}27 \text{ (cm)}\] Giá trị đại diện của các nhóm: 171; 173; 175; 177 (cm). Số trung bình: \[\overline{x} = \frac{1}{20}(171 \cdot 3 + 173 \cdot 10 + 175 \cdot 6 + 177 \cdot 1) = \frac{1}{20}(513 + 1730 + 1050 + 177) = \frac{3470}{20} = 173{,}5 \text{ (cm)}\] Phương sai: \[s^2 = \frac{1}{20}(171^2 \cdot 3 + 173^2 \cdot 10 + 175^2 \cdot 6 + 177^2 \cdot 1) - 173{,}5^2\] \[= \frac{1}{20}(87843 + 299290 + 183750 + 31329) - 30102{,}25\] \[= \frac{602212}{20} - 30102{,}25 = 30110{,}6 - 30102{,}25 = 2{,}35\] Độ lệch chuẩn: \[s = \sqrt{2{,}35} = \frac{\sqrt{235}}{10} \approx 1{,}53 \text{ (cm)}\] b) Độ phân tán của mẫu số liệu cho biết: - Khoảng biến thiên của mẫu số liệu gốc xấp xỉ 8 cm — tức là thành tích giữa vận động viên thấp nhất và cao nhất cách nhau khoảng 8 cm. - Khoảng tứ phân vị xấp xỉ \(\frac{34}{15} \approx 2{,}27\) cm — 50% vận động viên ở giữa (loại bỏ 25% thấp nhất và 25% cao nhất) có thành tích trải trong khoảng chưa đến 2,27 cm. - Phương sai của mẫu số liệu gốc xấp xỉ 2,35. - Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu gốc xấp xỉ 1,53 cm — thành tích của các vận động viên thường chỉ lệch khỏi mức trung bình (173,5 cm) khoảng 1,53 cm, cho thấy thành tích khá đồng đều.