Tìm hàm số f(x) từ hệ số góc tiếp tuyến

Đề bài:

Cho hàm số \(y = f(x)\) có đồ thị là (C). Xét điểm \(M(x; f(x))\) thay đổi trên (C). Biết hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị (C) tại M là \(k_M = (x-1)^2\) và điểm M trùng với gốc tọa độ khi nó nằm trên trục tung. Tìm biểu thức \(f(x)\).

Phân tích bài toán

Tóm tắt đề bài

Biết hệ số góc tiếp tuyến tại điểm M bất kỳ trên đồ thị là \(k_M = (x-1)^2\), và đồ thị đi qua gốc tọa độ O(0; 0). Cần tìm \(f(x)\).

Kiến thức cần dùng

Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm \(M(x_0; f(x_0))\) chính là \(f'(x_0)\). Do đó \(f'(x) = (x-1)^2\). Để tìm \(f(x)\) từ \(f'(x)\), dùng nguyên hàm: \(f(x) = \int f'(x)\,dx\). Hằng số tích phân C được xác định từ điều kiện \(f(0) = 0\).

Phương pháp giải

Chỉ có một cách. Từ \(f'(x) = (x-1)^2\), khai triển thành \(x^2 - 2x + 1\) rồi tính nguyên hàm để ra \(f(x) + C\). Thế điều kiện \(M(0;0)\) thuộc đồ thị, tức \(f(0) = 0\), để tìm C.

Ứng dụng thực tế

Nếu vận tốc của một vật tại thời điểm t được cho bởi công thức \(v(t) = (t-1)^2\) (m/s) và vật ở vị trí gốc lúc \(t = 0\), em tính được hàm quãng đường \(s(t)\) như thế nào?

Gợi ý (0/3)

Lời giải chi tiết

Các bài tập cùng bài học— Bài 11. Nguyên hàm

Góp ý về bài tập

Bạn thấy nội dung có gì chưa ổn? Góp ý của bạn giúp chúng tôi cải thiện.

...