Vectơ pháp tuyến của (Q) và (R) lần lượt là:
\[\overrightarrow{n_Q} = (3; 2; -1), \quad \overrightarrow{n_R} = (1; 1; -1)\]
Vì (P) vuông góc với (Q) và (R), pháp tuyến của (P) là tích có hướng \([\overrightarrow{n_Q}, \overrightarrow{n_R}]\).
Tính tích có hướng:
\[[\overrightarrow{n_Q}, \overrightarrow{n_R}] = \left(\begin{vmatrix}2&-1\\1&-1\end{vmatrix};\begin{vmatrix}-1&3\\-1&1\end{vmatrix};\begin{vmatrix}3&2\\1&1\end{vmatrix}\right)\]
\[= \big(2\cdot(-1)-(-1)\cdot1;\ (-1)\cdot1-3\cdot(-1);\ 3\cdot1-2\cdot1\big) = (-2+1;\ -1+3;\ 3-2) = (-1;\ 2;\ 1)\]
Vậy \(\overrightarrow{n} = (-1; 2; 1)\) là vectơ pháp tuyến của (P).
Phương trình mặt phẳng (P) đi qua \(M(1;-1;5)\):
\[-1(x-1)+2(y+1)+1(z-5)=0\]
\[-x+1+2y+2+z-5=0\]
\[-x+2y+z-2=0\]
