a) Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\).
\(y' = 3x^2 - 6x + 3 = 3(x-1)^2\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow x = 1\).
Vì \(y' = 3(x-1)^2 \geq 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\) và \(y'\) không đổi dấu khi qua \(x = 1\), nên hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\) và không có cực trị.
b) Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\).
\(y' = 4x^3 - 4x = 4x(x^2 - 1)\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 1 \\ x = -1 \end{array}\right.\)
Từ bảng biến thiên:
Hàm số đồng biến trên \((-1; 0)\) và \((1; +\infty)\); nghịch biến trên \((-\infty; -1)\) và \((0; 1)\).
Hàm số đạt cực đại tại \(x = 0\): \(y_{CĐ} = -1\).
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = \pm 1\): \(y_{CT} = -2\).
c) Tập xác định: \(D = \mathbb{R} \setminus \left\{-\dfrac{1}{3}\right\}\).
\(y' = \dfrac{2(3x+1) - 3(2x-1)}{(3x+1)^2} = \dfrac{6x + 2 - 6x + 3}{(3x+1)^2} = \dfrac{5}{(3x+1)^2} > 0\) với mọi \(x \neq -\dfrac{1}{3}\).
Hàm số đồng biến trên \(\left(-\infty; -\dfrac{1}{3}\right)\) và \(\left(-\dfrac{1}{3}; +\infty\right)\). Hàm số không có cực trị.
d) Tập xác định: \(D = \mathbb{R} \setminus \{-1\}\).
\(y' = \dfrac{(2x+2)(x+1) - (x^2+2x+2)}{(x+1)^2} = \dfrac{2x^2 + 4x + 2 - x^2 - 2x - 2}{(x+1)^2} = \dfrac{x^2 + 2x}{(x+1)^2} = \dfrac{x(x+2)}{(x+1)^2}\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = 0 \\ x = -2 \end{array}\right.\) (đều thuộc tập xác định).
Từ bảng biến thiên:
Hàm số đồng biến trên \((-\infty; -2)\) và \((0; +\infty)\); nghịch biến trên \((-2; -1)\) và \((-1; 0)\).
Hàm số đạt cực đại tại \(x = -2\): \(y_{CĐ} = \dfrac{(-2)^2 + 2(-2) + 2}{-2+1} = \dfrac{2}{-1} = -2\).
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 0\): \(y_{CT} = \dfrac{0 + 0 + 2}{0+1} = 2\).
