Vận tốc trung bình của dòng máu trong động mạch trên đoạn \([0, R]\) là:
\[v_{tb} = \frac{1}{R - 0}\int\limits_0^R k\left(R^2 - r^2\right)dr = \frac{1}{R}\int\limits_0^R \left(kR^2 - kr^2\right)dr\]
Tính tích phân:
\[\int\limits_0^R \left(kR^2 - kr^2\right)dr = \left(kR^2 r - \frac{kr^3}{3}\right)\Bigg|_0^R = kR^3 - \frac{kR^3}{3} = \frac{2kR^3}{3}\]
Do đó:
\[v_{tb} = \frac{1}{R} \cdot \frac{2kR^3}{3} = \frac{2kR^2}{3}\]
Xác định vận tốc lớn nhất: vì \(r^2 \ge 0\) với mọi \(r \in [0, R]\), hàm \(v(r) = k(R^2 - r^2)\) đạt giá trị lớn nhất tại \(r = 0\):
\[v_{\max} = kR^2\]
So sánh:
\[\frac{v_{\max}}{v_{tb}} = \frac{kR^2}{\dfrac{2kR^2}{3}} = \frac{3}{2}\]
Vậy \(v_{\max} = \dfrac{3}{2}\,v_{tb}\), tức vận tốc lớn nhất bằng \(\dfrac{3}{2}\) lần vận tốc trung bình.
