Tính \(f'(t)\):
\[ f'(t) = \frac{-5000 \cdot (1 + 5e^{-t})'}{(1+5e^{-t})^2} = \frac{-5000 \cdot (-5e^{-t})}{(1+5e^{-t})^2} = \frac{25\,000e^{-t}}{(1+5e^{-t})^2} \]
Đặt \(h(t) = f'(t) = \dfrac{25\,000e^{-t}}{(1+5e^{-t})^2}\). Tốc độ bán hàng lớn nhất khi \(h(t)\) đạt cực đại.
Tính \(h'(t)\) theo công thức đạo hàm phân thức:
\[ h'(t) = \frac{-25\,000e^{-t}(1+5e^{-t})^2 - 25\,000e^{-t} \cdot 2(1+5e^{-t})(-5e^{-t})}{(1+5e^{-t})^4} \]
Rút nhân tử chung \(-25\,000e^{-t}(1+5e^{-t})\) ở tử:
\[ h'(t) = \frac{-25\,000e^{-t}(1+5e^{-t})\left[(1+5e^{-t}) - 10e^{-t}\right]}{(1+5e^{-t})^4} = \frac{-25\,000e^{-t}(1-5e^{-t})}{(1+5e^{-t})^3} \]
Giải \(h'(t) = 0\):
\[ -25\,000e^{-t}(1-5e^{-t}) = 0 \]
Vì \(e^{-t} > 0\) với mọi \(t\), nên:
\[ 1 - 5e^{-t} = 0 \Leftrightarrow e^{-t} = \frac{1}{5} \Leftrightarrow t = \ln 5 \quad (\text{thỏa mãn } t \ge 0) \]
Xét dấu \(h'(t)\) trên \([0; +\infty)\):
- Với \(0 \le t < \ln 5\): \(e^{-t} > \dfrac{1}{5}\) nên \(1 - 5e^{-t} < 0\), do đó \(h'(t) > 0\).
- Với \(t > \ln 5\): \(e^{-t} < \dfrac{1}{5}\) nên \(1 - 5e^{-t} > 0\), do đó \(h'(t) < 0\).
\(h'(t)\) đổi dấu từ dương sang âm tại \(t = \ln 5\), nên \(h(t)\) đạt cực đại tại \(t = \ln 5\).
Vậy sau khi phát hành khoảng \(\ln 5 \approx 1{,}6\) năm thì tốc độ bán hàng đạt lớn nhất.
