Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) của kim tự tháp Kheops
Problem:
Kim tự tháp Kheops ở Ai Cập có dạng hình chóp S.ABCD, đáy là hình vuông với cạnh dài 230m, các cạnh bên bằng nhau và dài 219m (theo britannica.com) (H.5.38). Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).
Gọi O là giao điểm của AC và BD. Vì ABCD là hình vuông cạnh 230m nên:
\[OA = OB = OC = OD = \frac{230\sqrt{2}}{2} = 115\sqrt{2} \text{ (m)}\]
Vì \(SA = SB = SC = SD\), các tam giác SAC và SBD cân tại S, nên SO vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao. Do đó \(SO \perp AC\) và \(SO \perp BD\), suy ra \(SO \perp (ABCD)\).
Tam giác SOA vuông tại O:
\[SO = \sqrt{SA^2 - OA^2} = \sqrt{219^2 - (115\sqrt{2})^2} = \sqrt{47961 - 26450} = \sqrt{21511} = 7\sqrt{439} \text{ (m)}\]
Chọn hệ trục Oxyz gốc tại O, trục Ox theo \(\overrightarrow{OA}\), trục Oy theo \(\overrightarrow{OB}\), trục Oz theo \(\overrightarrow{OS}\). Tọa độ các đỉnh:
\[S(0;\,0;\,7\sqrt{439}),\quad A(115\sqrt{2};\,0;\,0),\quad B(0;\,115\sqrt{2};\,0),\quad C(-115\sqrt{2};\,0;\,0)\]
Tính các vectơ:
\[\overrightarrow{SA} = (115\sqrt{2};\,0;\,-7\sqrt{439}),\quad \overrightarrow{AB} = (-115\sqrt{2};\,115\sqrt{2};\,0)\]
Đặt \(\overrightarrow{m} = \dfrac{1}{115\sqrt{2}}\overrightarrow{AB} = (-1;\,1;\,0)\).
\[\overrightarrow{SB} = (0;\,115\sqrt{2};\,-7\sqrt{439}),\quad \overrightarrow{BC} = (-115\sqrt{2};\,-115\sqrt{2};\,0)\]
Đặt \(\overrightarrow{v} = \dfrac{1}{-115\sqrt{2}}\overrightarrow{BC} = (1;\,1;\,0)\).
Vectơ pháp tuyến của (SAB):
\[\overrightarrow{n_1} = [\overrightarrow{SA},\,\overrightarrow{m}] = \left(\begin{vmatrix}0 & -7\sqrt{439}\\1 & 0\end{vmatrix};\, \begin{vmatrix}-7\sqrt{439} & 115\sqrt{2}\\0 & -1\end{vmatrix};\, \begin{vmatrix}115\sqrt{2} & 0\\-1 & 1\end{vmatrix}\right) = (7\sqrt{439};\,7\sqrt{439};\,115\sqrt{2})\]
Vectơ pháp tuyến của (SBC):
\[\overrightarrow{n_2} = [\overrightarrow{SB},\,\overrightarrow{v}] = \left(\begin{vmatrix}115\sqrt{2} & -7\sqrt{439}\\1 & 0\end{vmatrix};\, \begin{vmatrix}-7\sqrt{439} & 0\\0 & 1\end{vmatrix};\, \begin{vmatrix}0 & 115\sqrt{2}\\1 & 1\end{vmatrix}\right) = (7\sqrt{439};\,-7\sqrt{439};\,-115\sqrt{2})\]
Áp dụng công thức góc giữa hai mặt phẳng:
\[\cos\big((SAB),(SBC)\big) = \frac{|\overrightarrow{n_1}\cdot\overrightarrow{n_2}|}{|\overrightarrow{n_1}|\cdot|\overrightarrow{n_2}|}\]
Tính tử số:
\[|\overrightarrow{n_1}\cdot\overrightarrow{n_2}| = |(7\sqrt{439})^2 + (7\sqrt{439})(-7\sqrt{439}) + (115\sqrt{2})(-115\sqrt{2})|\]
\[= |49\cdot439 - 49\cdot439 - 115^2\cdot2| = |0 - 26450| = 26450\]
Tính mẫu số (cả hai vectơ có cùng độ dài):
\[|\overrightarrow{n_1}|^2 = (7\sqrt{439})^2 + (7\sqrt{439})^2 + (115\sqrt{2})^2 = 2\cdot49\cdot439 + 26450 = 43022 + 26450 = 69472\]
\[|\overrightarrow{n_1}| = |\overrightarrow{n_2}| = \sqrt{69472}\]
Vậy:
\[\cos\big((SAB),(SBC)\big) = \frac{26450}{69472} = \frac{13225}{34736} \approx 0{,}3808\]
\[\Rightarrow \big((SAB),(SBC)\big) \approx 67{,}6^\circ\]
Góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) bằng \(67{,}6^\circ\).