a) Từ phương trình của \(\Delta_1\), xác định được vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u_1} = (2; -1; 3)\) và điểm \(A_1(1; 3; 2)\).
Từ phương trình của \(\Delta_2\), xác định được vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u_2} = (-1; 1; 2)\) và điểm \(A_2(8; -2; 2)\).
Vì \(\dfrac{2}{-1} \neq \dfrac{-1}{1}\) nên \(\overrightarrow{u_1}\) và \(\overrightarrow{u_2}\) không cùng phương.
Tính tích có hướng:
\[\left[\overrightarrow{u_1}, \overrightarrow{u_2}\right] = \left(\left|\begin{array}{cc}-1 & 3 \\ 1 & 2\end{array}\right|,\ \left|\begin{array}{cc}3 & 2 \\ 2 & -1\end{array}\right|,\ \left|\begin{array}{cc}2 & -1 \\ -1 & 1\end{array}\right|\right) = (-5;\, -7;\, 1) \neq \overrightarrow{0}.\]
Tính \(\overrightarrow{A_1A_2} = (8-1;\ -2-3;\ 2-2) = (7; -5; 0)\).
Kiểm tra:
\[\overrightarrow{A_1A_2} \cdot \left[\overrightarrow{u_1}, \overrightarrow{u_2}\right] = 7 \cdot (-5) + (-5)\cdot(-7) + 0 \cdot 1 = -35 + 35 + 0 = 0.\]
Vì \(\left[\overrightarrow{u_1}, \overrightarrow{u_2}\right] \neq \overrightarrow{0}\) và \(\overrightarrow{A_1A_2} \cdot \left[\overrightarrow{u_1}, \overrightarrow{u_2}\right] = 0\) nên \(\Delta_1\) và \(\Delta_2\) cắt nhau.
b) Vì (P) chứa cả \(\Delta_1\) và \(\Delta_2\), mặt phẳng (P) nhận \(\overrightarrow{n} = \left[\overrightarrow{u_1}, \overrightarrow{u_2}\right] = (-5; -7; 1)\) làm vectơ pháp tuyến.
Mặt phẳng (P) đi qua \(A_1(1; 3; 2)\), nên phương trình của (P) là:
\[-5(x - 1) - 7(y - 3) + 1(z - 2) = 0\]
\[\Leftrightarrow -5x - 7y + z + 24 = 0.\]
