Từ phương trình tham số, đường thẳng d đi qua điểm \(A(1;-2;4)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u} = (1;1;-2)\).
Kiểm tra O(0;0;0): nếu O thuộc d thì tồn tại t thỏa \(1+t=0\), \(-2+t=0\), \(4-2t=0\) đồng thời — ba phương trình cho \(t=-1\), \(t=2\), \(t=2\) mâu thuẫn, nên O không thuộc d.
Mặt phẳng (P) chứa d và đi qua O nên (P) chứa hai vectơ \(\overrightarrow{OA} = (1;-2;4)\) và \(\overrightarrow{u} = (1;1;-2)\).
Vectơ pháp tuyến của (P):
\[\overrightarrow{n} = \left[\overrightarrow{OA};\overrightarrow{u}\right] = \left(\left|\begin{array}{cc}-2&4\\1&-2\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}4&1\\-2&1\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}1&-2\\1&1\end{array}\right|\right)\]
\[= \bigl((-2)(-2)-4\cdot1;\; 4\cdot1-1\cdot(-2);\; 1\cdot1-(-2)\cdot1\bigr) = (0;6;3).\]
Mặt phẳng (P) đi qua \(O(0;0;0)\) với pháp tuyến \(\overrightarrow{n} = (0;6;3)\):
\[0(x-0)+6(y-0)+3(z-0)=0 \Leftrightarrow 6y+3z=0 \Leftrightarrow 2y+z=0.\]
Vậy phương trình mặt phẳng (P) là \(2y + z = 0\).
