Tính thể tích khối chỏm cầu bằng tích phân

Đề bài:

Khối chỏm cầu có bán kính $R$ và chiều cao $h$ $\left(0 < h \le R\right)$ sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi cung tròn có phương trình $y = \sqrt{R^2 - x^2}$, trục hoành và hai đường thẳng $x = R - h$, $x = R$ xung quanh trục $Ox$ (H.4.30). Tính thể tích của khối chỏm cầu này.

Phân tích bài toán

Tóm tắt đề bài

Cho hình phẳng giới hạn bởi cung tròn $y = \sqrt{R^2 - x^2}$, trục hoành và hai đường thẳng $x = R - h$, $x = R$. Quay hình đó quanh trục $Ox$, tính thể tích khối tròn xoay thu được.

Kiến thức cần dùng

Công thức thể tích khối tròn xoay: khi quay đồ thị $y = f(x) \ge 0$ trên $[a; b]$ quanh trục $Ox$, thể tích là $V = \pi \int_a^b f^2(x)\,dx$. Ngoài ra cần biết khai triển $(R - h)^3$ và tính tích phân của đa thức.

Phương pháp giải

Áp dụng trực tiếp công thức thể tích khối tròn xoay với $f(x) = \sqrt{R^2 - x^2}$, cận tích phân từ $R - h$ đến $R$. Tính tích phân bằng nguyên hàm của đa thức, sau đó khai triển và rút gọn biểu thức.

Ứng dụng thực tế

Khi cắt một quả bóng (hình cầu bán kính $R$) bằng một mặt phẳng sao cho phần bị cắt có chiều cao $h$, thể tích phần chỏm cầu đó được tính như thế nào?

Gợi ý (0/3)

Lời giải chi tiết

Các bài tập cùng bài học— Bài 13. Ứng dụng hình học của tích phân

Góp ý về bài tập

Bạn thấy nội dung có gì chưa ổn? Góp ý của bạn giúp chúng tôi cải thiện.

...