Tính thể tích khối chỏm cầu bằng tích phân

Thể tích khối chỏm cầu là: \[V = \pi \int_{R-h}^{R} \left(R^2 - x^2\right)dx\] \[= \pi \left(R^2 x - \frac{x^3}{3}\right)\Bigg|_{R-h}^{R}\] \[= \pi \left[\left(R^3 - \frac{R^3}{3}\right) - \left(R^2(R-h) - \frac{(R-h)^3}{3}\right)\right]\] Khai triển $(R-h)^3 = R^3 - 3R^2h + 3Rh^2 - h^3$, ta có: \[V = \pi \left[R^3 - \frac{R^3}{3} - R^3 + R^2 h - \frac{R^3 - 3R^2h + 3Rh^2 - h^3}{3} \cdot (-1)\right]\] Tính trực tiếp: \[V = \pi \left[R^3 - \frac{R^3}{3} - R^2(R-h) + \frac{(R-h)^3}{3}\right]\] \[= \pi \left[R^3 - \frac{R^3}{3} - R^3 + R^2 h + \frac{R^3 - 3R^2h + 3Rh^2 - h^3}{3}\right]\] \[= \pi \left[R^2 h - \frac{R^3}{3} + \frac{R^3}{3} - R^2 h + Rh^2 - \frac{h^3}{3}\right]\] \[= \pi \left[Rh^2 - \frac{h^3}{3}\right]\] \[= \pi h^2\left(R - \frac{h}{3}\right)\]